אנליזה נומרית/גזירה נומרית/גזירה באמצעות הפרשים קדמיים

נמצא שני קירובים ראשונים על פי הפרשים קדמיים באמצעות הקשרים בין האופרטורים שפיתחנו.

$h{f}^{\prime }(x_i)=hDf(x_i)=\ln Ef(x_i)=\ln (1+\mathrm{\Delta })f(x_i)=[\mathrm{\Delta }-\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{2}+\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{3}-\frac{{\mathrm{\Delta }}^4}{4}+...]f(x_i)$

נגזרת ראשונה

קירוב לינארי:

$h{f}^{\prime }(x_i)\approx \mathrm{\Delta }f(x_i)=f(x_{i+1})-f(x_i)\Rightarrow f^{\prime }(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}$

קירוב ריבועי:

$h{f}^{\prime }(x_i)=(\mathrm{\Delta }-\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{2})f(x_i)=(f(x_{i+1})-f(x_i))-\frac{1}{2}(f(x_{i+2})-2f(x_{i+1})+f(x_i))$

$\Rightarrow f^{\prime }(x_i)=\frac{-f(x_{i+2})+4f(x_{i+1})-3f(x_i)}{2h}$

קירוב משולש:

$f^{\prime }(x_i)=\frac{2f(x_{i+3})-9f(x_{i+2})+18f(x_{i+1})-11f(x_i)}{6h}$

נגזרת ראשונה בנקודת ביניים

נפתח תחילה ביטוי עבור הנגזרת:

$f^{\prime }(x_i+\theta h)=D{E}^{\theta }f(x_i)=D[1+\theta \mathrm{\Delta }+\frac{\theta (\theta -1)}{2}{\mathrm{\Delta }}^2+...]f(x_i)$

נשתמש בקשר:

$D=\frac{1}{h}\ln (1+\mathrm{\Delta })=\frac{1}{h}(\mathrm{\Delta }-\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{2}+\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{3}-...)$

ונקבל:

$f^{\prime }(x_i+\theta h)=\frac{1}{h}(\mathrm{\Delta }-\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{2}+\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{3}-...)[1+\theta \mathrm{\Delta }+\frac{\theta (\theta -1)}{2}{\mathrm{\Delta }}^2+...]f(x_i)=$

$=\frac{1}{h}[\mathrm{\Delta }+{\mathrm{\Delta }}^2(\theta -\frac{1}{2})+{\mathrm{\Delta }}^3(...)+...]f(x_i)$

נגזרת שנייה

$h^2{f}^{″}(x_i)=(hD{)}^{2}f(x_i)=(\ln E{)}^{2}f(x_i)=[\ln (1+\mathrm{\Delta }){]}^{2}f(x_i)=$

$={[\mathrm{\Delta }-\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{2}+\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{3}-\frac{{\mathrm{\Delta }}^4}{4}+...]}^{2}f(x_i)=$

$=[{\mathrm{\Delta }}^2-{\mathrm{\Delta }}^3+\frac{11}{12}{\mathrm{\Delta }}^4-\frac{5}{6}{\mathrm{\Delta }}^5+\frac{137}{180}{\mathrm{\Delta }}^6+...]f(x_i)$

קירוב לינארי:

$\Rightarrow f^{″}(x_i)\approx \frac{1}{h^2}{\mathrm{\Delta }}^{2}f(x_i)=\frac{1}{h^2}[f(x_{i+2})-2f(x_{i+1})+f(x_i)]$

קירוב ריבועי:

$\Rightarrow f^{″}(x_i)\approx \frac{1}{h^2}({\mathrm{\Delta }}^2-{\mathrm{\Delta }}^3)f(x_i)=\frac{1}{h^2}[f(x_{i+3})-3f(x_{i+2})+3f(x_{i+1})-f(x_i)]$