אנליזה נומרית/גזירה נומרית/גזירה באמצעות הפרשים מרכזיים

$h{f}^{\prime }(x_i)=hDf(x_i)=2{\sinh }^{-1}\frac{\delta }{2}f(x_i)=2[\frac{\delta }{2}-\frac{1}{6}{\left(\frac{\delta }{2}\right)}^3+\frac{3}{40}{\left(\frac{\delta }{2}\right)}^5+...]f(x_i)$

קירוב לינארי:

$f^{\prime }(x_i)\approx \frac{\delta f(x_i)}{h}=\frac{f(x_{i+\frac{1}{2}})-f(x_{i-\frac{1}{2}})}{h}$

קיבלנו ביטויים המערבים נקודות ביניים אשר אינן נתונות לנו, ולכן הנוסחה הנ"ל איננה מעשית. נשתמש בקשר $\mu {\left(\sqrt{1+\frac{{\delta }^2}{4}}\right)}^{-\frac{1}{2}}=1$ כדי לקבל נוסחה שמישה:

$h{f}^{\prime }(x_i)=\mu {(1+\frac{{\delta }^2}{4})}^{-\frac{1}{2}}2{\sinh }^{-1}\frac{\delta }{2}f(x_i)=$

$=\mu [1+(-\frac{1}{2})\frac{{\delta }^2}{4}+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2!}{\left(\frac{{\delta }^2}{4}\right)}^2+...]2[\frac{\delta }{2}-\frac{1}{6}{\left(\frac{\delta }{2}\right)}^3+...]f(x_i)=$

$=[\mu \delta -\frac{1}{6}\mu {\delta }^3+\frac{1}{30}\mu {\delta }^5+...]f(x_i)$

קירוב לינארי:

$f^{\prime }(x_i)\approx \frac{1}{h}\mu \delta f(x_i)=\frac{1}{h}\mu [f(x_{i+\frac{1}{2}})-f(x_{i-\frac{1}{2}})]=$

$\frac{1}{2h}[(f(x_{i+1})+f(x_i))-(f(x_i)+f(x_{i-1}))]=\frac{1}{2h}[f(x_{i+1})-f(x_{i-1})]$

נגזרת שנייה

$h^2{f}^{″}(x_i)=(hD{)}^{2}f(x_i)={\left[2{\sinh }^{-1}\frac{\delta }{2}\right]}^{2}f(x_i)=$

$=4{[\frac{\delta }{2}-\frac{1}{6}{\left(\frac{\delta }{2}\right)}^3+...]}^{2}f(x_i)=({\delta }^2-\frac{1}{12}{\delta }^4+...)f(x_i)$

$\Rightarrow f^{″}(x_i)\approx \frac{1}{h^2}{\delta }^{2}f(x_i)=\frac{1}{h^2}[f(x_{i+1})-2f(x_i)+f(x_{i-1})]$

נשים לב כי בנוסחה הנ"ל אין צורך להשתמש ב-μ מכיוון שחזקות זוגיות של δ תלויות בנקודות נתונות (i-1, i, i+1, ...), בניגוד לחזקות אי זוגיות, אשר תלויות בנקודות ביניים (i+1/2, i-1/2 ...).