מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות ממעלה שלישית או יותר

אי-שוויונות ממעלה שלישית או יותר

אי-שוויונות ממעלה הגבוהה ממעלה שניה הם בדרך כלל קשים יותר. דרך הפתרון:

1. מעבירים את כל האברים לאגף אחד בלבד. (בד"כ אי-שוויון מסוג כזה ינתן כבר במצב שבאגף אחד יש אפס)
2. מפרקים את הביטוי לגורמים ככל הניתן.
3. עורכים טבלה (זו השיטה העדיפה):
   • הכותרות של השורות בטבלה הן כל אחד מהביטויים שהופיעו באי-שוויון לאחר הפירוק לגורמים.
   • בכותרות העמודות יש לרשום את הערכים המאפסים כל אחד מהביטויים שהתקבלו, כאשר יש לשים גם עמודות בין תחום לתחום (עמודות נוספות בקצוות).
   • רושמים בכל משבצת שנוצרה את סימן הערך- (+ או - או אפס).
   • לבסוף מוסיפים שורה תחתונה שכותרתה- מכפלה, ומחשבים עבור כל עמודה את סימן המכפלה של כל המשבצות שבאותה עמודה- (+ או - או אפס).
   • אם התבקשתם להראות מתי אי-השוויון גדול מאפס, יש לכתוב את התחומים בהם התקבלה מכפלה שהיא + (חיובית). אם התבקשתם להראות מתי אי-השוויון קטן מאפס, יש לכתוב את התחומים בהם התקבלה מכפלה שהיא - (שלילית). אם בנוסף התבקשתם להראות מתי זה שווה לאפס (לדוגמה גדול או שווה לאפס), אזי יש להוסיף את התחומים בהם התקבלה מכפלה 0.

דוגמא א'

$(x-1)(x^2-x-6)<0$

$(x-1)(x^2-3x+2x-6)<0$

$(x-1)[x(x-3)+2(x-3)]<0$

$(x-1)(x+2)(x-3)<0$

$x>3$	$3$	$1<x<3$	$1$	$-2<x<1$	$-2$	$x<-2$
$+$			$0$	$-$			$x-1$
$+$					$0$	$-$	$x+2$
$+$	$0$	$-$					$x-3$
$(+)$	$0$	$(-)$	$0$	$(+)$	$0$	$(-)$	מכפלה

התבקשנו להראות את ערכי $x$ עבורם הביטוי קטן מ-0, ולכן אנו מחפשים מכפלה שלילית. לכן התוצאה היא:

$x<-2$ או $1<x<3$

דוגמא ב'

$(x^2-4x)(x^2-25)\ge 0$

$[x(x-4)][(x-5)(x+5)]\ge 0$

$x(x-4)(x-5)(x+5)\ge 0$

$x>5$	$5$	$4<x<5$	$4$	$0<x<4$	$0$	$-5<x<0$	$-5$	$x<-5$
$+$					$0$	$-$			$x$
$+$	$0$	$-$							$x-5$
$+$							$0$	$-$	$x+5$
$+$			$0$	$-$					$x-4$
$(+)$	$0$	$(-)$	$0$	$(+)$	$0$	$(-)$	$0$	$(+)$	מכפלה

התבקשנו להראות את ערכי $x$ עבורם הביטוי גדול מ-0 או שווה לו, ולכן אנו מחפשים מכפלה חיובית (+) או 0. לכן התוצאה היא:

$x\le -5$ או $0\le x\le 4$ או $x\ge 5$