מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית

פונקציה ריבועית או פרבולה.

תבנית $y=a{x}^2+bx+c$ $a\ne 0$ $y=a{x}^2+bx+c$ הפונקציה מורכבת משלושה משתנים: קודקוד או מוקד (נקודת הקיצון) ונוסחתו ($\frac{b}{2a},\frac{-\mathrm{\Delta }}{4a}$) ישר הסימטריה או ישר מנחה הוא ישר המקביל לציר $y$ ועובר דרך קודקוד הפרבולה. ישר מנחה מחלק את הפונקציה לשני חלקים שווים. שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטריים לישר הסימטריה של הפרבולה. ככל שערך המוחלט של המקדם $a$ גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר ערך C מבטא את נקודת החיתוך עם ציר y. ככל שערכו גדל כך הפרבולה עולה במעלה ציר $y$, ולהפך. ככל שערך $c$ קטן, כך הפרבולה יורדת בתחתית ציר $y$. כאשר $b$ שלילי – הפרבולה זזה לכיוון ימין כאשר $b$ חיובי – הפרבולה זזה לכיוון שמאל. תחום הגדרה ותנאים מקדמים $a\ne 0$ כנלמד בפרק חקירת פונקציה ריבועית, פונקציה ממעלה שנייה יכולה להיות תחפושת לפונקציה לינארית ולכן כדי חייבים לבדוק את מקדם $a$. הפונקציה הריבועית, כמו כל פולינום, מוגדרת לכל $x$. חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר $x$ בדיקה סוג הפרבולה ישרה ($a>0$) או הפוכה ($a<0$). הצבה $y=0$ בפונקציה. מציאת ערכי $x$ עבורם $y=0$ באמצעות פעולות פישוט שונות לפתירת משוואה ממעלה שנייה (טרינום, פירוק לגורמים ועוד). שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך. ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה: "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה"). המקדם של הפרבולה $y=x^2+6x+9$ הוא $1*x^2$. מאחר ש-$1>0$ הפרבולה ישרה $a>0$. נציב $y=0$ בפונקציה $0=x^2+6x+9$ נעזר בנוסחת הכפל המקוצר $(x+3{)}^2=0$. נקבל $x=-3$. נקודת החיתוך עם ציר ה-$x$ היא $(-3,0)$ נקודת החיתוך של הפונקציה x^2+6x+9 כמה נקודות חיתוך דוגמא לשלושת המצבים בכדי לגלות כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה עם ציר ה-$x$ פתרנו את המשוואה $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$. בהתאם להסבר בחקירת משוואה ממעלה שנייה כאשר: כאשר $\mathrm{\Delta }>0$ יש שתי נקודות חיתוך. כאשר $\mathrm{\Delta }=0$ יש נקודת חיתוך אחת. כאשר $\mathrm{\Delta }<0$ אין נקודות חיתוך. על פי רוב, נתבקש בסוף התרגיל לצייר את גרף הפונקציה ולכן נעדיף להציב במשוואה $y=0$ במשוואת הפונקציה ולמצוא את $x$. נמצא כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה $y=x^2+6x+9$ עם ציר ה-$x$: נמצא דלתא : $\mathrm{\Delta }=6^2-4*9$ נפתח : $\mathrm{\Delta }=36-36$ נצמצם : $\mathrm{\Delta }=36-36=0$ המצב : $\mathrm{\Delta }=0$, כלומר לפונקציה $y=x^2+6x+9$ יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-$x$. חיתוך עם ציר $y$ הצבה $x=0$. פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים : חיתוך עם ציר $y$ - פתרון יחיד. אין חיתוך עם ציר $y$ - משוואה לא הגיונית, כמו למשל $2=0$. נקודת הקיצון דרך א' ערך הנקודה שיעור $x$ של קודקוד הפרבולה : $x=\frac{-b}{2a}$. שיעור $y$ של קודקוד הפרבולה - הצבת ערך ה-$x$ במשוואת הפונקציה. במקרה שהפרבולה היא מצורה $y=(x\pm b{)}^2+c$ קודקוד הפרבולה $(x_c,c)$ סוג נקודת קיצון נקבע על פי מקדם $a$. כאשר: מנמום ($a>0$). מקסימום ($a<0$). נציב במשוואה $x=\frac{-b}{2a}$ את הנתונים של הפונקציה $y=x^2+6x+9$ $x=\frac{-6}{2*1}=-3$ נציב את ערך ה-$x$ במשוואת הפונקציה $y=(-3{)}^2+6*-3+9$ ונקבל $(-3,0)$. מאחר שניתן לייצג את הפרבולה שלנו באמצעות $y=(x\pm b{)}^2+c$, יכול לגלות את ערך ה-$y$ בקלות יתרה: $y=(x+3{)}^2+0$ ערך ה-$y$ הוא $c=0$. מקדם ה-$x$ הוא חיובי ($1*x$) הפונקציה היא ישרה ($a>0$) ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום. במקרה זה נקודת הקיצון של הפונקציה היא גם נקודת החיתוך של הפונקציה. דרך ב' מציאת נגזרת הפרבולה ע"פ כללי הגזירה. השלבים : גזירה על פי חוקי גזירת חזקה מציאת ערך ה-$x$ - נשווה לאפס ונמצא נקודות קיצון. מציאת ערך ה-$y$ - נציב במשוואת הפונקציה את ערך ה-$x$. זיהוי סוג הנקודה על פי מקדם $a$. נבצע גזירה לפונקציה $y=x^2+6x+9$ על פי גללי גזירת חזקה. נקבל $y^{\prime }=2x^{2-1}+6$. נשווה לאפס $0=2x+6$ נקבל כי נקודת הקיצון היא $x=-3$. נציב את ערך ה-$x$ בפונקציה ונקבל $y=(-3{)}^2+6*-3+9$. נקודת הקיצון המתקבלת היא $(-3,0)$. מקדם ה-$x$ הוא חיובי ($1*x$) הפונקציה היא ישרה ($a>0$) ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום. נקודות פיתול אין תחום שלילי וחיובי מציאת נקודות חיתוך עם ציר $x$. שרטוט צירים, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודת קיצון והפרבולה. קביעת תחומי עליה וירידה בהתאם לשרטוט של הגרף - סימון התחום הנדרש : מעל ציר $x$ - תחום חיובי. מתחת ציר $x$ - תחום שלילי. תחומי עליה וירידה על פי קודקוד הפרבולה, בהתאם לשרטוט. פתירת משוואה פרבולה ישרה - יורדת כאשר $x<\frac{-b}{2a}$ ועולה כאשר $x>\frac{-b}{2a}$. פרבולה הפוכה - יורדת כאשר $x>\frac{-b}{2a}$ ועולה כאשר $x<\frac{-b}{2a}$. אסימפטוטות אין