חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים

הגדרות ומשפטים

רציפות: תהי פונקציה $f$ בסביבה של $x_0$. אם לכל $\epsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך ש-

$|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$

משפט פונקציה היא רציפה אם ורק אם לכל סדרה השואפת ל-$x_0$ יתקיים התנאי: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_0)$תבנית:ש משפט הרכבה של רציפות היא רציפה.תבנית:ש אי-רציפות: יש שלושה סוגים של אי-רציפות:

1. סליקה - הגבול של הפונקציה ב- $x_0$ קיים משני הצדדים ושווה אבל בנקודה $x_0$ הפונקציה לא מקבלת את ערך הגבול.
2. מסוג ראשון - קיימים גבולות חד-צדדיים, והם לא שווים
3. מסוג שני - אחד הגבולות החלקיים (או שניהם) לא קיים או קיים רק במובן ברחב.

משפט ערך הביניים תהי פונקציה $f$ בקטע $[a,b]$. אם $f(a)\cdot f(b)<0$ אזי קיימת נקודה $x_0\in (a,b)$ בה $f(x_0)=0$

משפטי ויירשטראס:

1. פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה בו
2. פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום

רציפות בכמה משתנים: תהי $f$ תבנית:להשלים

נגזרת: תהי פונקציה $f$ מוגדרת בקטע $[a,b]$ ותהי $x_0$ נקודה פנימית של הקטע, ויהי h מספר השונה מ-0 עבורו $x_0+h$ עדיין שייך לקטע. f גזירה ב-$x_0$ אם קיים הגבולתבנית:ש $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ הגבול יקרא הנגזרת של $f$ בנקודה $x_0$ ויסומן ע"י $f^{\prime }(x_0)$ או $\frac{d}{dx}f(x_0)$