תורת ההסתברות/פרק 1

מרחב ההסתברות

מרחב ההסתברות הוא שלשה:

$(\mathrm{\Omega },F,P)$
$\mathrm{\Omega }$ נקראת "מרחב המדגם", F היא אוסף של תת קבוצות שהן "סיגמא-אלגברה" ו-P היא פונקציית ההסתברות.

הגדרה: סיגמא אלגברה היא אוסף F של תתי קבוצות מקבוצה $\mathrm{\Omega }$ המקיים:

1. $\mathrm{\varnothing }\in F,\mathrm{\Omega }\in F$
2. אם $A\in F$ אז $A^c\in A$
3. אם $A_1,A_2,\cdots \in F$ אז $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}\in F$

טענות:

• אם $A_1\in F,A_2\in F$ אז $A_1\cup A_2\in F$
• אם $A_1,A_2,\cdots \in F$ אזי $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cap }}\in F$
• אם $A_1,A_2\in F$ אז $A_1\cap A_2\in F$

עובדות:

• אם $A_1\cap A_2=\mathrm{\varnothing }$ אז $P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)$
• אם $A\subset B$ אז $P(A)\le P(B)$

הגדרה: התפלגות אחידה - תהי $\mathrm{\Omega }$ מרחב מדגם סופי. התפלגות אחידה של $\mathrm{\Omega }$ היא מרחב הסתברות כאשר $F=2^{\mathrm{\Omega }}$, ולכל $A\in F$
$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}$

מרחבי הסתברות רציפים

דוגמא: בחירה של נקודה אקראית ההמוגרלת באופן אחיד בקטע [0,1].
מרחב המדגם: [0,1].
אוסף המאורעות: הסיגמא אלגברה המינימלית המכילה את כל הקטעים ב [0,1].
מהי ההסתברות P? לכל קטע [a,b] המקיים $0\le a<b\le 1$ ההסתברות היא: $P([a,b])=\frac{b-a}{1-0}=b-a$
תהי $X_0\in [0,1]$ מהי $P(x_0)$?

טענה: $A\subset B\Rightarrow P(A)\le P(B)$

מכאן קיים $x_0\in [x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon ]$.
$P([x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon ])=2\epsilon$. לכן:
$P(x_0)\le 2\epsilon$ לכל אפסילון ומכאן שווה ל-0. משפט: קיימת הרחבה יחידה של P ל- F. כלומר, קיימת פפונקציה יחידה $P:F\to [0,1]$ שגם היא מקיימת את הדרישות מהשיעור הקודם וגם מקיימת שלכל קטע $[a,b]\subset [0,1]$,$P([a,b])=b-a$

דוגמא: נטיל מטבע הוגן. אם יצא עץ, נבחר נקודה בקטע [0,2/3], אם יצא פאלי נבחר נקודה בקטע [2/3,1].
מהי P? יהי [a,b] קטע אזי:
אם b<=2/3 אז: $P([a,b])=\frac{1}{2}\frac{b-a}{2/3}$
אם a>=2/3 אז: $P([a,b])=\frac{1}{2}\frac{b-a}{1/3}$
אם a>2/3<b אז: $P([a,b])=P([a,2/3])+P[2/3,b])$

נראה שעבור כל נקודה ההסתברות זהה בשתי הדוגמאות אבל פונקציית ההסתברות שונה. מכאן פונקציית ההסתברות לא נקבעת באופן יחיד עבור הערך בכל נקודה. אם מרחב המדגם סופי- כן נקבעת.