תורת ההסתברות/פרק 2

אינפי של מרחבי הסתברות

תהי ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$
הגדרה: $\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n} = \cap_{k = 1}^{\infty} \cup_{n = k}^{\infty} A_{n}$
$\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n} = \cup_{k = 1}^{\infty} \cap_{n = k}^{\infty} A_{n}$

משפט:

אם $A_{n} \in ℕ$ לכל $n \in ℕ$ אז $\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n} \in F$
אם $A_{n} \in ℕ$ לכל $n \in ℕ$ אז $\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n} \in F$
$l i m i n f_{n \to \infty} A_{n} \subset \underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}$

הגדרה: תהי ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרת קבוצות.
אם $l i m i n f_{n \to \infty} A_{n} = \underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}$ אז נאמר שהסדרה מתכנסת ו- $l i m_{n \to \infty} A_{n} = \underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n}$

הגדרה חילופית: נניח ש- $A_{n} \subset Ω$ לכל $n \in ℕ$ . לכל $A \subset Ω$ נתאים את הפונקציה המציינת $𝔵_{A} = {\begin{matrix} 1 & x \in A \\ 0 & x \notin A \end{matrix}$
נסמן $\underline{A} = lim inf A_{n}$ , $\bar{A} = lim sup A_{n}$
אזי לכל $x \in Ω$ :
$𝔵_{\bar{A}} = lim sup 𝔵_{A_{n}} (x)$
$𝔵_{\underline{A}} = lim inf 𝔵_{A_{n}} (x)$

$lim sup A_{n}$ היא קבוצת כל ה-xים שמופיעים באינסוף מאיברי הסדרה.
$lim inf A_{n}$ היא קבוצת כל ה-xים שמופיעים בכל איברי הסדרה פרט, אולי למספר סופי.

משפט: תהי ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרה עולה של מאורעות. כלומר, לכל $n \in ℕ$ :
$A_{n} \subset A_{n + 1}$ ו- $A_{n} \in F$ .
אז: $P (\cup_{n = 1}^{\infty}) = \lim_{n \to \infty} P (A_{n})$ .

משפט: תהי ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרה יורדת של מאורעות. כלומר, לכל $n \in ℕ$ :
$A_{n + 1} \subset A_{n}$ ו- $A_{n} \in F$ .
אז: $P (\cap_{n = 1}^{\infty}) = \lim_{n \to \infty} P (A_{n})$ .

משפט: רציפות פונקציית ההסתברות: תהי ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרה מתכנסת של מאורעות ונסמן $A = \lim_{n \to \infty} A_{n}$ . אז: $P (A) = \lim_{n \to \infty} P (A_{n})$

טענה: לשני מאורעות A,B במרחב הסתברות $(Ω, F, P)$ מתקיים: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) + P (A \cap B)$

פרדוקס יום ההולדת: בשנה יש m=365 ימים. נתונים n אנשים. מה הסיכוי שלאף שניים אין יום הולדת באותו היום? אם n>m הסיכוי או אפס.

מרחב המדגם: $Ω_{i} = {1, 2, . . ., m}$ , $Ω = {Ω_{1} \times Ω_{2} \times \dots \times Ω_{n}}$
$F = 2^{Ω}$
לכל $A \in F$ $P (A) = \frac{| A |}{| Ω |}$
$| Ω | = m^{n}$
$A = m * (m - 1) * . . * (m - n + 1) = Π_{k = 1}^{n} (m - k + 1)$
$P (A) = Π_{k = 1}^{n} \frac{m - k + 1}{m}$

תורת ההסתברות/פרק 2

אינפי של מרחבי הסתברות

תפריט ניווט

חיפוש