תורת ההסתברות/פרק 3

הסתברות מותנית, נוסחת בייס ואי תלות

הגדרה: יהי $(\mathrm{\Omega },F,P)$ מרחב הסתברות, ויהיו A,B מאורעות. נניח ש P(B)>0. ההסתבאות של A בהינתן B מסומנת ע"י $P(A|B)$ ומוגדרת להיות $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
ההסתברות המותנית $P(A|B)$ לא מוגדרת אם P(B) = 0

דוגמא: בכד ישנם n כדורים לבנים ו- k שחורים. מוישה מוציא כדור ולא מחזיר, ואחיו אברם מוציא כדור.

1. מה הסיכוי שאברם הוציא כדור שחור?
2. מה הסיכוי שאברם הוציא כדור שחור בהינתן שמוישה הוציא כדור שחור?

מרחב ההסתברות: $w=\{1,\cdots ,n,n+1,\cdots ,n+k\}$
$\mathrm{\Omega }=\{w\in W^2:w(1)\ne w(2)\}$
$F=2^{\mathrm{\Omega }}$ ההתפלגות אחידה.

מאורעות: $A=\left\{Abramtookoutblackball\right\}=\{w\in \mathrm{\Omega }:w(2)>n\}$

$M=\left\{Mosestookoutblackball\right\}=\{w\in \mathrm{\Omega }:w(1)>n\}$

$|\mathrm{\Omega }|=(n+k)*(n+k-1)$
$|A|=k*(n+k-1)$
$|M|=k*(n+k-1)$ $A\cap M=\{w\in \mathrm{\Omega }|w(1)>n,w(2)>n\}$
$|A\cap |=k(k-1)$
$P(A)=P(M)=\frac{k(k-1)}{(n+k)(n+k-1)}=\frac{k}{n+k}$
$P(A\cap M)=\frac{k(k-1)}{(n+k)(n+k-1)}$
$P(A|B)=\frac{P(A\cap M)}{P(M)}=\frac{k(k-1)}{(n+k)(n+k-1)}\frac{n+k}{k}=\frac{k-1}{n+k-1}$

משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות.

משפט: ההסתברות השלמה: תהי $A_1,...,A_n$ חלוקה של $\mathrm{\Omega }$ (כלומר $A_1,...,A_n$ זרים בדוגות ומתקיים $\mathrm{\Omega }=\underset{k=1}{\overset{n}{\cup }}{A}_k$ נניח בנוסף ש- $P(A_k)>0$ לכל k בין 1 ל- n. אז לכל $b\in F$ מתקיים $P(B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_k)P(B|A_k)$

נוסחת בייס (Bayes) יהו $A,B\in F$ ונניח ש- $P(A)>0$ ו $P(B)>0$
אז $P(A|B)=P(B|A)\frac{P(A)}{P(B)}$

אי תלות:

נאמר שמאורע A בלתי תלוי ב B אם הידיעה ש-A התרחש לא משפיעה על הסיכוי של B להתרחש. כלומר נרצה לומר ש A בת"ל ב B אם $P(B)=P(B|A)$

הגדרה (פורמלית) מאורעות A,B בלתי תלויים אם: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

עובדות בסיסיות:

1. אם $P(A)=0$ אזי A ו-B בלתי תלויים.
2. אם A ו-B בלתי תלויים אז $A^c$ ו- B בלתי תלויים.
3. אם P(A)=1 אז A ו-B תלויים.
4. אם A בלתי תלוי ב-B ו-A בלתי תלוי ב-C ו $B\cap C=\mathrm{\varnothing }$ אז A בלתי תלוי ב-$B\cup C$

אי תלות של מספר מאורעות

הגדרה: יהי $(\mathrm{\Omega },F,P)$ מרחב הסתברות ויהיו $A_1,A_2,\cdots ,A_n\in F$ מאורעות.
אנו אומרים ש- $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ הם בת"ל אם לכל $I\subset \{1,2,\cdots ,n\}$ מתקיים $P({\cap }_{i\in I}{A}_i)={\mathrm{\Pi }}_{i\in I}P(A_i)$
עבור $I=\mathrm{\varnothing }$ , ${\cap }_{{}_i\in \mathrm{\varnothing }}{A}_i=\mathrm{\Omega }$

הגדרה שקולה: $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ הם בת"ל אם לכל $I_1,I_2\subset \{1,2,...,n\}$ כך ש - $I_1,I_2$ זרים, ${\cap }_{i\in I_1}{A}_i$ בת"ל ב ${\cap }_{{}_i\in I_2}{A}_i$

הגדרה: יהי B אוסף של מאורעות. נאמר ש-B הינו אוסף בלתי תלוי אם לכל תת אוסף סופי הוא אוסף בת"ל.

הגדרה: נאמר ש-$A_1,A_2,\cdots ,A_n$ הם בלתי תלויים בזוגות אם לכל $1\le i\ne j\le n$ מתקיים ש $A_i,A_j$ הם בלתי תלויים.

(אם $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ הם בת"ל הם בת"ל בזוגות)

דוגמא אוסף מאורעות בת"ל בזוגות ולא בת"ל:
$\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$
$F=2^{\mathrm{\Omega }}$
P אחידה. $\{\begin{array}{c}{A}_1=\{1,4\}\\ A_2=\{1,3\}\\ A_3=\{1,4\}\end{array}$