מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה/דוגמאות

דוגמאות

להלן הסברים ומספר דוגמות למציאת הנגזרת של פונקציות שונות באמצעות הנוסחות הנתונות לעיל.

שורה 1

הנוסחה הראשונה מציגה את העקרון הבסיסי של נגזרת אלגברית.
שימו לב שב$x^n$ נכללים בין השאר גם $x^1=x$ וגם $x^0=1$.

דוגמה 1.1

אם נתונה הפונקציה $f(x)=x^3$
אז על פי הנוסחה הראשונה:
$f^{\prime }(x)=3x^{3-1}=3x^2$

דוגמה 1.2

אם נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{x}$
אנו יודעים ששורש מx אפשר לכתוב גם כחזקה של חצי: $f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

ולכן אפשר להשתמש בנוסחה הראשונה למציאת הנגזרת:
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

שורה 2

כאשר הפונקציה של x אינה פשוטה, ובעצמה מכילה פונקציות של x, תהליך הגזירה על פי העיקרון הבסיסי הופך למאוד לא נוח. וכשלא נוח עושים טעויות.
כדי שלא יהיו טעויות, ניסחו את הנוסחה השניה, שעוסקת בגזירה כאשר יש כפל של פונקציות פשוטות.

דוגמה 2.1

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3\cdot x^5$
מדובר במכפלה של פונקציות של x. אז נסמן אותן:
$u=x^3$
$v=x^5$

ואז נוכל להשתמש בנוסחה השניה:
$f^{\prime }(x)=(x^3\cdot x^5{)}^{\prime }={x^3}^{\prime }\cdot x^5+x^3\cdot {x^5}^{\prime }=3x^2\cdot x^5+x^3\cdot 5x^4=3x^7+5x^7=8x^7$

ועכשיו, כשיש לנו את התשובה, כדאי שנשים לב שלמעשה הפונקציה שלנו היתה $f(x)=x^3\cdot x^5=x^8$
אם נשתמש בנוסחה הראשונה על הביטוי הזה, נגלה שהנוסחה השניה עובדת כמו שצריך.

אז למה הסתבכנו עם הנוסחה השניה אם היינו יכולים להכפיל ולהשתמש בראשונה?
כדי להראות איך משתמשים בנוסחה השניה. לא כל התרגילים כל כך פשוטים שאפשר פשוט לבצע את הכפל, אחרת לא היו ממציאים את הנוסחה השניה.

שורה 3

נוסחה שימושית נוספת היא נגזרת של מנה. חשוב לציין, כי כאשר יש נגזרת של מנה, ובתוכה מכפלה או שורש וכו', הנגזרת של המנה קודמת לנגזרת של המונה או המכנה.

דוגמה 3.1

$f(x)=\frac{1}{x}$
$f^{\prime }(x)=\frac{(1{)}^{\prime }\cdot x-1\cdot x^{\prime }}{x^2}=\frac{0\cdot x-1}{x^2}=-\frac{1}{x^2}$

דוגמה 3.2

$f(x)=\frac{x^3}{4x-7}$

$f^{\prime }(x)=\frac{(x^3{)}^{\prime }\cdot (4x-7)-(4x-7{)}^{\prime }\cdot x^3}{(4x-7{)}^2}=\frac{3x^2\cdot (4x-7)-4x^3}{(4x-7{)}^2}=\frac{12x^3-21x^2-4x^3}{(4x-7{)}^2}=\frac{8x^3-21x^2}{(4x-7{)}^2}$