אלגברה לינארית/מערכות של משוואות לינאריות

משוואה לינארית ב־n נעלמים

משוואה לינארית ב־$n$ נעלמים היא משוואה מהצורה $a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=b$ כאשר $a_1,\dots ,a_n\in ℝ$ ו־$x_1,\dots ,x_n$ נעלמים. $b$ מייצג מקדם חופשי.

ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה, $a{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=\sum _{j=i}^n{a}_j{x}_i$

מרחב (${ℝ}^n$), למשל ${ℝ}^2$ הוא המישור, ${ℝ}^3$ מרחב תלת־ממדי וכן הלאה.

אניות ($n$־יה סדורה) – אוסף של אברים מסודרים לפי סדר, למשל, ${ℝ}^n=\{(x_1,\dots ,x_n):x_i\in ℝ,\mathrm{\forall }1\le i\le n\}$ , אזי $x_1,\dots ,x_n$ היא אניה.

וקטור $(x_1,\dots ,x_n)$ הוא פתרון של המשוואה $a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=b$ אם בעת הצבתו במקום הנעלמים $x_1,\dots ,x_n$ מתקבלת משוואה אמת. למשל $x_1+x_2=0$ כאשר הווקטור הוא למשל $(2,-2)$ .

קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות

קבוצת הפתרונות של משוואה לינארית הוא אוסף (קבוצת) הפתרונות של משוואה, אניה $\{(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n:a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=b\}$ אשר ניתן להציגה באמצעות גרף. פתרון משוואה לינארית משמעותו הצגת קבוצות הפתרונות באמצעות פרמטרים.

בהמשך לדוגמא הקודמת, אוסף הפתרונות של $x_1+x_2=0$ היא האניה $\{(x_1,x_2)\in {ℝ}^2:x_1+x_2=0\}$

מאחר ש־$x_1=-x_2$ נסמן את $x_2=t$ ולכן ההצגה הפרמטרית היא $\{(-t,t):t\in ℝ\}=\{(x_1,x_2)\in {ℝ}^2:x_1-x_2=1\}$

נוכל לצייר את הפתרון על גרף באמצעות ציר שייצג את $x_1$ וציר שני את $x_2$ .

מערכת משוואות לינאריות

מערכת עם $m$ משוואות ו־$n$ נעלמים:

$\begin{array}{cccccccccccccc}{a}_{11}{x}_1& & +& & a_{12}{x}_2& & +\cdots +& & a_{1n}{x}_n& & =& & & b_1\\ a_{21}{x}_1& & +& & a_{22}{x}_2& & +\cdots +& & a_{2n}{x}_n& & =& & & b_2\\ ⋮& & & & ⋮& & & & ⋮& & & & & ⋮\\ a_{m1}{x}_1& & +& & a_{m2}{x}_2& & +\cdots +& & a_{mn}{x}_n& & =& & & b_m\\ \end{array}$

כאשר $a_{ij},b_i\in ℝ$

• $\alpha$ מקדם (סקלר)
• $b$ מקדם חופשי
• $x_1,\dots ,x_n$ נעלמים.

קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות

$(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$ נקרא פתרון של מערכת המשוואות אם בעת הצבתו במערכת המשוואות במקום הנעלמים $x_1,\dots ,x_n$ כל אחת מהמשוואות תניב משוואת אמת.

דוגמה: תהי מערכת משוואות עם $m=2,n=2$

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=0\\ x_2=1\end{array}$

מספר הפתרונות למערכת המשוואות הוא יחיד ופתרונו $\{(-1,1)\}$

סוגי מערכת פתרונות ופתרונות

• מערכת משוואות קונסיסטנטית – מערכת משוואות שקבוצת הפתרונות שלה אינה ריקה.
• מערכת משוואות הומוגנית – מערכת משוואות קונסיסטנטית שקבוצת הפתרונות שלה טריויאלית, כלומר שווה לאפס או במלים אחרות

$\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]$

• מערכת משוואות עם אינסוף פתרונות – כאשר אחד ממקדמי הנעלמים שווה לאפס, לדוגמא $0x=0$ או

$\{\begin{array}{c}0x+y+2z=-1\\ z+y=3\end{array}$

• מערכת משוואות לינארית עם $n$ נעלמים ללא פתרונות – מערכת משוואות מהצורה $0x+0y=2$
• מערכת משוואות עם פתרון יחיד – כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים.
• מערכת משוואות עם אוסף פתרונות – כאשר מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות.