מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/חפיפת משולשים

הגדרת החפיפה (שיוון)

כאשר, שני משולשים, בעלי צלעות וזוויות שוות, הם נקראים משולשים חופפים. למשל, נתון שני משולשים $\mathrm{△}ABC$ ו-$\mathrm{△}DEF$ אשר אורך צלעותיהם שוות בהתאם : $\begin{array}{cc}& AB=DE\\ & BC=DF\\ & CA=FE\\ & \Downarrow \\ & \mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF\\ \end{array}$

רשימת החפיפה הסופית תתבצע בהתאמה, כלומר, $\mathrm{\angle }A$ השווה ל-$\mathrm{\angle }D$, ירשמו, זה מול זה, כפי שמתואר בדוגמא.

משפטי חפיפה

• 
  משפט חפיפה ראשון : צ.ז.צ - שני משולשים השווים זה לזה בארכי שתי צלעות ובזווית שביניהן.
• 
  משפט חפיפה שני :ז.צ.ז - שני משולשים השווים זה לזה בשתי זוויות, ובאורך הצלע שביניהן, הם חופפים
• 
  משפט חפיפה שלישי : צ.צ.צ - שני משולשים השווים זה לזה בארכי צלעותיהם, הם חופפים
• משפט חפיפה רביעי :צ.צ.ז - שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה
  משפט חפיפה רביעי :צ.צ.ז - שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה
• 
  משפט חפיפה חמישי :ז.ז.צ - שתי זוויות ובצלע שמול אחת מהן

זוויות או צלעות מתאימות, במשולשים חופפים

כאשר יש לנו משפט חפיפה, נוכל להוציא ממנו בקלות את הנתונים כיוון שהם רשומים בהתאמה.כלומר, אם נתון :

$\begin{array}{cc}& \mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF\\ & \Downarrow \\ & AB=DE\\ & BC=DF\\ & CA=FE\\ & \mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }D\\ & \mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }E\\ & \mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }F\\ \end{array}$

בתום הפעולה עלינו לרשום : צ.מ.ב.ח (צלעות מתאימות במשולשים חופפים) או ז.מ.ב.ח (זוויות מתאימות במשולשים חופפים).

תרגול

צ.ז.צ

כיתוב תמונה

נתון שני משולשים (ABC ו-DAF) בעלי זווית משותפת A. ידוע כי AB=DA וכן גם, FA=CA. הוכח כי המשולשים חופפים.

ז.צ.ז

נתון :

1. משולש ABC
2. AD הוא קטע אמצעי וחוצה זווית.

הוכח : כי המשולש $ABF$ חופף למשולש $AFC$

צ.צ.צ

נתון מרובע אשר AB=DC , AD=BC . הוכח : כי המשולש $ACD$ חופף למשולש $ABD$.