פיזיקה קוונטית/חלקיק טעון בשדה מגנטי

ההמילטוניאן עבור חלקיק טעון, חסר ספין, בדינמיקה לא יחסותית, ובפוטנציאל סקלרי ו-וקטורי הינו:
$H=\frac{(P-\frac{q}{c}A{)}^2}{2m}+q\varphi$

נגדיר את אופרטור המהירות ביחידות של $\hslash$ :

$V_{\alpha }\equiv \frac{i}{\hslash }[H,Q_{\alpha }]=\frac{i}{m\hslash }[(P-\frac{q}{c}A{)}^2,Q_{\alpha }]=\frac{1}{2m}(P_{\alpha }-\frac{q}{c}{A}_{\alpha })$
יחסי החילוף של איברי $\overrightarrow{V}$ המתקבלים מן ההגדרה הזו הינם: $[V_{\alpha },V_{\beta }]=i\frac{\hslash q}{m^{2}c}{ϵ}_{\alpha ,\beta ,\gamma }{B}_{\gamma }$

• מציאת רמות האנרגיה (רמות לנדאו) עבור חלקיק טעון חסר ספין בשדה מגנטי הומוגני

$\overrightarrow{B}=B\hat{z}$ :
נציג את H באמצעות $H=\frac{m}{2}(V_x^2+V_y^2+V_z^2)$
נגדיר $H_{xy}\equiv \frac{m}{2}(V_x^2+V_y^2)$ $H_z\equiv \frac{m}{2}{V}_z^2$ , $H=H_{xy}+H_z$
מכיוון ש-$B_x=B_y=0$ נקבל כי $[V_z,V_x]=[V_z,V_y]=0$
מכאן נובע ש-$H_{xy}$ ו-$H_z$ חילופיים זה עם זה.
כיוון שכך, הערכים העצמיים של H הינם סכום האלגברי של הערכים העצמיים של האופרטורים $H_{xy}$ ו-$H_z$ המרכיבים אותו.
כעת נמצא את הערכים העצמיים של $H_{xy}$ ו-$H_z$.
לשם כך נציג את הסימון

$\gamma \equiv {\left(\frac{\hslash |q|B}{m^{2}c}\right)}^{1/2}$,

$V_x=\gamma Q^{\prime }$

$V_y=\gamma P^{\prime }$
נקבל כי $H_{xy}=\frac{1}{2}\left(\frac{\hslash |q|B}{mc}\right)(P{\text{'}}^2+Q{\text{'}}^2)$, $[P^{\prime },Q^{\prime }]=i$ משוואות אלה זהות למשוואות אוסצילטור הרמוני קוונטי, ועל כן הערכים העצמיים של $H_{xy}$ יהיו $(n+\frac{1}{2})\frac{\hslash |q|B}{m^{2}c}$ כאשר n הינו מספר שלם אי-שלילי.
ספקטרום הערכים העצמיים של $H_z$ הינו רציף, $\frac{m{v}^2}{2}$
נקבל כי האנרגיות האפשריות במערכת הינן: $E_{n,V_z}=(n+\frac{1}{2})\frac{\hslash |q|B}{m^{2}c}+\frac{m{v}^2}{2}$
ערכי אנרגיה אלה נקראים רמות לנדאו (על שמו של לב לנדאו, שהיה הראשון לנסח את הפונקציות העצמיות המתאימות לערכי אנרגיה אלה). ניתן לראות כי עבור $V_z$ נתון, הספקטרום הינו בדיד כשל אוסצילטור הרמוני.

• ניוון של רמות לנדאו

מתוך פיתוח שאינו מופיע כאן כרגע, נקבל כי הניוון של רמת לנדאו בעלת n ו- $V_z$ קבועים הינו $\frac{D_x{D}_y}{2\pi a_m^2}$, כאשר $D_x,D_y$ הינם אורכי צלעות מלבן שבו מוכלת המערכת (כלומר אם החלקיק אינו מוגבל במישור xy, הניוון הינו אינסופי? בנוסף, מדוע ההגדרה היא מחזורית באחד הצירים - x?), ו- $a_m={\left(\frac{\hslash c}{|q|B}\right)}^{1/2}$
ערך זה מצביע כי הניוון ברמות לנדאו שווה למספר יחידות השטף המגנטי החולפות דרך המערכת.

בביליוגרפיה: Ballentine, L. - Quantum Mechanics - a Modern Development (1998), Ch. 11