אלגברה לינארית/השלמת קבוצה בת"ל כך שתפרוש את המרחב

השלמה לבסיס

השלמת בסיס פירושו שאם קיימים לנו מספר ווקטורים הפורשים חלקית את המרחב, נרצה למצוא את יתר הווקטורים החסרים כך שיחדיו כל קבוצת הווקטורים תפרוש את כל המרחב ותהווה בסיס. לדוג' $e_1$ פורש חלקית את מרחב $ℝ$. יחד עם $e_2$ הם יהוו בסיס. בדוגמה הנוכחית קל היה למצוא את הווקטור החסר לפרישת כל המרחב. כיצד מוצאים את הווקטורים החסרים להשלמה לבסיס במקרים מורכבים? תבנית:תרגיל

מסקנה: כל קבוצה בת"ל של איברים מ${𝔽}^m$ ניתן להשלים לבסיס ע"י וקטורים מהקבוצה $\{e_1,..,e_m\}$ .

הוכחה דרך 2

משפט: כל קבוצה פורשת מכילה בסיס, וכל קבוצה בת"ל מוכלת בבסיס. (בשני המקרים, הכוונה שקיים בסיס כזה)

הצגה לפי בסיס

יחידות ההצגה

משפט: תהי $A\subseteq V$. $A$ בסיס ל- $V$ אמ"מ לכל $u\in V$ יש הצגה יחידה כצ"ל של $A$ .

ההצגה

יהי $B=\{b_1,\dots ,b_n\}$ בסיס סדור ל- $V$ , ויהי $u\in V$ . תהי $\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{b}_i$ ההצגה היחידה של $u$ כצ"ל של $B$ .

ההצגה של $u$ לפי $B$ תוגדר להיות: ${\left[u\right]}_B=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right)$ (כלומר, וקטור עמודה)

פעולות

נגדיר חיבור וקטורי עמודה, וכפל בסקלר, בדרך הטריוויאלית - אבר אבר.

יהי $B=\{b_1,\dots ,b_n\}$ בסיס סדור ל- $V$ , ויהיו $u,v\in V,\alpha \in 𝔽$ . אזי $[u+v{]}_B=[u{]}_B+[v{]}_B,[\alpha u{]}_B=\alpha [u{]}_B$ .

הוכחה: נציג את $u,v$ כצ"ל של $B$ : $u=\sum _{i=1}^n{\beta }_i{b}_i,v=\sum _{i=1}^n{\gamma }_i{b}_i$ , נקבל:

• $[u+v{]}_b={[\sum _{i=1}^n{\beta }_i{b}_i+\sum _{i=1}^n{\gamma }_i{b}_i]}_B={[\sum _{i=1}^n({\beta }_i+{\gamma }_i)b_i]}_B=\left(\begin{array}{c}{\beta }_1+{\gamma }_1\\ ⋮\\ {\beta }_n+{\gamma }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ ⋮\\ {\beta }_n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\gamma }_1\\ ⋮\\ {\gamma }_n\end{array}\right)={\left[\sum _{i=1}^n{\beta }_i{b}_i\right]}_B+{\left[\sum _{i=1}^n{\gamma }_i{b}_i\right]}_B=[u{]}_B+[v{]}_B$
• $[\alpha u{]}_B={\left[\alpha \sum _{i=1}^n{\beta }_i{b}_i\right]}_B={\left[\sum _{i=1}^n\alpha {\beta }_i{b}_i\right]}_B=\left(\begin{array}{c}\alpha {\beta }_1\\ ⋮\\ \alpha {\beta }_n\end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ ⋮\\ {\beta }_n\end{array}\right)=\alpha {\left[\sum _{i=1}^n{\beta }_i{b}_i\right]}_B=\alpha [u{]}_B$