אלגברה לינארית/מבוא לתורת השדות

הגדרת השדה

הערה: אפשר לשים לב, ששדה הוא חבורה אבלית ביחס לפעולת החיבור, כך שאיבר האפס שלו הוא האיבר הניטרלי בחבורה,וגם השדה(ללא איבר האפס) הוא חבורה אבלית ביחס לפעולת הכפל, כאשר איבר הניטרלי ביחס לכפל הוא האיבר הניטרלי בחבורה. עוד משהו, הוא ששדה הוא חוג חילופי כאשר $0=1$, וכל האיברים פרט לאיבר האפס הפיכים ביחס לכפל.

אוקיי, ובכך סיימנו עם האקסיומות של השדה, אז כרגע אתם יודעים מה הוא שדה, אתן לכם עוד כמה דוגמאות בסיסיות לשדות(בנוסף לאלו שציינתי בהתחלה)

דוגמאות של שדות

• שדה המספרים הממשיים $ℝ$
• שדה המספרים הרציונליים $\mathbb{Q}$
• שדה המספרים המרוכבים $ℂ$
• מספרים הניתנים לבנייה

שדה סופי

הדוגמא הקלאסית לשדה סופי היא שדה מודולו $p$ , כאשר $p$ הוא מספר ראשוני(נהוג לסמן שדה זה ב${\mathbb{Z}}_p$)

תבנית:משפט

בכדי להוכיח את המשפט הזה בפשטות יתר, נצטרך להעזר בלמה הבאה:

תבנית:מבנה תבנית

תבנית:הוכחה

כעת נעבור להוכחת המשפט.