אלגברה לינארית/מציאת מטריצה דומה

מציאת מטריצה דומה בצורה מיוחדת

ליכסון

מטריצה A תיקרא "לכסינה" אם קיימת D אלכסונית שדומה לה.תבנית:ש משפט: A לכסינה אם ורק אם קיים בסיס של ${𝔽}^n$ המורכב כולו מוקטורים עצמיים של A. תבנית:מוסתר מתוך ההוכחה נסיק: המטריצה המלכסנת P היא המטריצה בה עמודותיה הן וקטורים עצמיים של A שביחד מהווים בסיס למרחב. כמו כן, על המטריצה האלכסונית שדומה ל-A מופיעים באלכסון הערכים העצמיים של A, וסדר העמודות של המטריצה P (מהמובן של הדרכים לסדר אותם) יקבע את הסדר של הערכים העצמיים על האלכסון.

כמו כן אפשר להבין שאם למטריצה A יש n ע"ע שונים אזי היא לכסינה, פשוט כי אם נתבונן בקבוצה של n וקטורים עצמיים שכל אחד מהם קשור לערך עצמי אחר, היא בת"ל ולפי משפט השלישי חינם, היא בסיס. לכן קיים בסיס של המרחב שמורכב כולו מוקטורים עצמיים של A ולכן לכסינה.

משפט: A לכסינה אם ורק אם לכל ערך עצמי $\lambda$ יתקיים $m_{\lambda }=k_{\lambda }$ (הריבוי האלגברי והגאומטרי שווים)

חשיבות הליכסון

אחד השימושים הטובים של ליכסון זה חישוב חזקות גבוהות של מטריצה. נראה כי מתקיים שאם $A=P^{-1}DP$ (כאשר D אלכסונית) אז מתקיים ש- $A^n=(P^{-1}DP{)}^n=P^{-1}DP{P}^{-1}DP\cdots PD{P}^{-1}=P{D}^n{P}^{-1}$ והרי חזקה גבוהה של מטריצה אלכסונית קל לחשב כיון שזה פשוט העלאה בחזקה המתאימה כל אבר על האלכסון.