אלגברה לינארית/ערכים עצמיים

וקטור עצמי וערך עצמי

הגדרה

ערך עצמי של מטריצה מוגדר באופן הבא: תהי מטריצה $A\in {𝔽}^{n\times n}$ . וקטור $v\in {𝔽}^n$ ייקרא וקטור עצמי של A אם הוא שונה מ-0 וגם קיים סקלר $\lambda \in \mathrm{F}$ כך ש- $Av=\lambda v$. במקרה זה, $\lambda$ ייקרא ערך עצמי של A.תבנית:ש ערך עצמי של העתקה לינארית מוגדר באופן הבא: תהי $T:V\to V$ העתקה לינארית. אומרים ש- $\lambda \in 𝔽$ הוא ע"ע של $T$ אם קיים $v\ne 0$ כך ש- $Tv=\lambda v$ .

$v=0$ לא וקטור עצמי עפ"י ההגדרה פשוט כיוון שאם כן היה, אזי כל סקלר בשדה היה ערך עצמי שכן $\mathrm{\forall }\lambda \in 𝔽:A\cdot \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}=\lambda \cdot \overrightarrow{0}$ (וכנ"ל לגבי אופרטורים).

קל להוכיח שאם ניקח את קבוצת כל הוקטורים המהווים וקטורים עצמיים של A עם ערך עצמי $\lambda$ , ונאחד יחד עם הקבוצה $\{\overrightarrow{0}\}$ נקבל מרחב וקטורי. למרחב הוקטורי הזה קוראים המרחב העצמי הקשור ל- $\lambda$ ומסומן לרוב $V_{\lambda }$

קבוצת הערכים העצמיים של מטריצה A לרוב נקראת "הספקטרום של A" ומסומן $\text{spec}(A)$

הקשר בין ערכים עצמיים של העתקה וערכים עצמיים של מטריצה

יהי $T:V\to V$ ויהי בסיס B למרחב: $B=\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$. אזי מתקיים ש- $\lambda$ ע"ע של ההעתקה T אם ורק אם היא ע"ע של $[T{]}_B$ (המטריצה המייצגת של העתקה T לפי בסיס B). זה הקשר בין ע"ע של העתקה לע"ע של מטריצה.

מציאת ערך עצמי למטריצה

נראה כי מתקיים: $Av=\lambda v⟺\lambda v-Av=0⟺(\lambda I-A)v=0$ .

כיון ש- $v\ne \overrightarrow{0}$ אזי מצאנו וקטור שונה מ-0 שמאפס את $(\lambda I-A)$ ולכן המטריצה לא הפיכה. זה מתקיים אם ורק אם $\det (\lambda I-A)=0$תבנית:ש לפולינום $p_A(x)=\det (xI-A)$ נקרא הפולינום האופייני של המטריצה A. נראה כי שורשיו, הם x-ים שיגרמו לכך שהדטרמיננטה בעצם תהיה 0 ולכן ניתן להסיק כי $\lambda$ ע"ע (קיצור נפוץ ל"ערך עצמי) אם ורק אם שורש של הפולינום האופייני.תבנית:ש לכן, כדי למצוא ערכים עצמיים של מטריצה, פשוט נחפש את שורשי הפולינום האופייני

תכונות

• וקטורים עצמיים שקשורים לערכים עצמיים שונים הם בת"ל.
• $\lambda$ הוא ע"ע של A אם ורק אם $p_A(\lambda )=0$תבנית:ש
• אם $A\in {𝔽}^{n\times n}$ אז $\mathrm{deg}{p}_A(x)=n$ (דרגה של פולינום זה החזקה הכי גבוהה של x בפולינום).תבנית:ש
• הפולינום הוא פולינום מתוקן. כלומר, המקדם של החזקה הכי גבוהה של x הוא תמיד 1. לא יכול להיות $p_A(x)=3x^2-5x+4$ כיון שהחזקה הכי גבוהה של x הוא 2 והמקדם שלו הוא 3, לא 1.תבנית:ש
• אם A מטריצה משולשית כך שעל האלכסון נמצאים ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ אזי $p_A(x)=(x-{\lambda }_1)(x-{\lambda }_2)\cdots (x-{\lambda }_n)$תבנית:ש
• המקדם של $x^{n-1}$ (החזקה הכמעט הכי גבוהה) הוא $-\text{tr}(A)$ (כאשר tr זה העקבה של המטריצה)תבנית:ש
• המספר החופשי, שהוא לא מקדם של אף חזקה של x (ניתן להגיד מקדם של $x^0$) תמיד יהיה $(-1{)}^n\cdot \det (A)$תבנית:ש
• משפט קיילי-המילטון: כל מטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה. כלומר אם $p_A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$ אז $p_A(A)=a_{0}I+a_{1}A+a_2{A}^2+\cdots +a_n{A}^n=0$ (יש להעיר שזו מטריצת האפס שכן יש פה חיבור מטריצות, כפל שלהן וכפל שלהן בסקלר.)

ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי

יהי $\lambda$ ערך עצמי של $A$ . מגדירים ריבוי אלגברי של $\lambda$ להיות החזקה של $(x-\lambda )$ בפולינום האופייני של המטריצה. לרוב נסמן את הריבוי האלגברי של $\lambda$ בתור $k_{\lambda }$. באופן פורמלי, $k_{\lambda }=\max \{k\in \mathbb{N}:(x-\lambda {)}^k|p_A(x)\}$

כמו כן, מגדירים ריבוי גאומטרי של $\lambda$ להיות המימד של המרחב העצמי הקשור ל- $\lambda$ או באופן פורמלי, $m_{\lambda }=\dim (V_{\lambda })$

מתקיים לכל ערך עצמי $m_{\lambda }\le k_{\lambda }$