הוכחות מתמטיות/אלגברה לינארית/מרחבים וקטוריים, בסיס וממד

משפט הממדים לתתי-מרחבים

אם $U,W$ הנם תתי-מרחבים של מרחב וקטורי $V$ , אזי מתקיים

$\dim (U+W)=\dim (U)+\dim (W)-\dim (U\cap W)$

הוכחה

נסמן

$m=\dim (U),n=\dim (W),k=\dim (U\cap W)$

ונוכיח כי $\dim (U+W)=m+n-k$ .

יהי $\{v_1,\dots ,v_k\}$ בסיס לחיתוך. מעצם הגדרת החיתוך, אברי הבסיס הם בלתי-תלויים לינארית הן ב-$U$ והן ב-$W$ .

נשלים קבוצה זו לבסיסים של $U$ ושל $W$ בהתאמה:

$\begin{array}{c}\{v_1,\dots ,v_k,u_{k+1},\dots ,u_m\}\\ \{v_1,\dots ,v_k,w_{k+1},\dots ,w_n\}\end{array}$

נסמן ב-$B$ את האיחוד של שתי הקבוצות הנ"ל. מספר האברים ב-$B$ הוא $k+(m-k)+(n-k)=m+n-k$ . לכן נותר רק להוכיח כי $B$ היא בסיס למרחב הסכום.

מהגדרת בסיס, יש להוכיח כי $B$ קבוצה פורשת ובלתי-תלויה לינארית. תחילה נראה כי היא פורשת.

אברים בתת-המרחב $U+W$ הם כולם מהצורה $u+w$ , כאשר $u\in U,w\in W$ , מעצם הגדרת מרחב הסכום.

$u$ הוא צירוף לינארי של $v_1,\dots ,v_k,u_{k+1},\dots ,u_m$ שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור $U$ .

$w$ הוא צירוף לינארי של $v_1,\dots ,v_k,w_{k+1},\dots ,w_n$ שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור $W$ .

לפיכך, $u+w$ הוא צירוף לינארי של אברי $B$ . לכן $B$ קבוצה פורשת.

כעת נוכיח כי $B$ בלתי-תלויה לינארית. מעצם הגדרת אי-תלות לינארית, עלינו להוכיח כי הפתרון היחיד למשוואה

${\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_k{v}_k+{\beta }_{k+1}{u}_{k+1}+\cdots +{\beta }_m{u}_m+{\gamma }_{k+1}{w}_{k+1}+\cdots +{\gamma }_n{w}_n=0$

הוא $\mathrm{\forall }i:{\alpha }_i={\beta }_i={\gamma }_i=0$ .

לאחר העברת אגפים נקבל כי:

${\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_k{v}_k+{\beta }_{k+1}{u}_{k+1}+\cdots +{\beta }_m{u}_m=-{\gamma }_{k+1}{w}_{k+1}-\cdots -{\gamma }_n{w}_n$

האגף השמאלי הוא צירוף לינארי של אברי בסיס של $U$ , לכן הוא שייך ל-$U$ .

האגף הימני הוא צירוף לינארי של אברי בסיס של $W$ ולכן הוא שייך ל-$W$ .

לכן כל אחד מהאגפים שייך לחיתוך $U\cap W$ . לכן ניתן לכתוב את האגף השמאלי כצירוף לינארי של אברי הבסיס של החיתוך.

$-{\gamma }_{k+1}{w}_{k+1}-\cdots -{\gamma }_n{w}_n={\delta }_1{v}_1+\cdots +{\delta }_k{v}_k$

נעביר אגפים ונקבל:

${\delta }_1{v}_1+\cdots +{\delta }_k{v}_k+{\gamma }_{k+1}{w}_{k+1}+\cdots +{\gamma }_n{w}_n=0$

קיבלנו צירוף לינארי של אברי הבסיס של $W$ ומכיון שאברי בסיס הם בלתי-תלויים לינארית מעצם הגדרתו, נובע מכך כי $\mathrm{\forall }i:{\delta }_i={\gamma }_i=0$ .

נציב זאת לצירוף הלינארי של אברי $B$ אשר התחלנו ממנו ונקבל:

${\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_k{v}_k+{\beta }_{k+1}{u}_{k+1}+\cdots +{\beta }_n{u}_n=0$

זהו צירוף לינארי של אברי הבסיס של $U$ , לכן $\mathrm{\forall }i:{\alpha }_i={\beta }_i={\gamma }_i=0$ .

$◼$