הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/מונוטוניות האינטגרל המסוים

משפט

אם $f,g$ אינטגרביליות בקטע $[a,b]$ ואם $f(x)\le g(x)$ לכל $x$ בקטע, אזי $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$ .

הוכחה

תהי $P=x_0,\dots ,x_n$ חלוקה כלשהי של $[a,b]$ .

לכל $x\in \mathrm{\Delta }{x}_k=[x_{k-1},x_k]$ מתקיים $f(x)\le g(x)$ , ולכן גם $\sup f(\mathrm{\Delta }{x}_k)\le \sup g(\mathrm{\Delta }{x}_k)$ .

או בסימון אחר:

$M_k(f)\le M_k(g)$

כאשר $M_k(f)$ הוא החסם העליון של $f$ בקטע $\mathrm{\Delta }{x}_k$ , ובהתאם מוגדר $M_{k}g(x)$ .

לפיכך גם $S_f(P)\le S_g(P)$ כאשר $S_f(P)$ הוא הסכום העליון של $f$ לגבי החלוקה הנתונה ובהתאמה גם ל־$g$ .

אי־השוויון האחרון נכון לכל חלוקה $P$ של הקטע $[a,b]$ , ולכן מתקיים גם $\inf \{S_f(P):P\in \mathrm{\wp }\}\le \inf \{S_g(P):P\in \mathrm{\wp }\}$ .

כלומר $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)$ .

$◼$