הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של סכום והפרש

משפט

אם $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L,\underset{x\to a}{\lim }g(x)=M$ אזי $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L\pm M$ .

הוכחה

יהי $\epsilon >0$ . יש להוכיח כי קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $|f(x)\pm g(x)-(L\pm M)|<\epsilon$ .

• קיים ${\delta }_1>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_1$ מתקיים $|f(x)-L|<\frac{\epsilon }{2}$ .
• קיים ${\delta }_2>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_2$ מתקיים $|g(x)-M|<\frac{\epsilon }{2}$ .

נבחר $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$ . לפיכך,

$$|f(x)\pm g(x)-(L\pm M)|=|f(x)-L\pm g(x)\mp M|\le |f(x)-L|+|g(x)-M|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$$

$◼$