הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/משפט שטולץ

משפט (שטולץ / שטולץ־צ'זארו)

תהי $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה כלשהי, ותהי $\{y_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה מונוטונית עולה ממש ומקיימת $y_n\to \mathrm{\infty }$ .

אם $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=L$ במובן הרחב, אזי גם $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=L$ .

הוכחה

לפי הגדרת הגבול, לכל $\epsilon >0$ קיים $N\in \mathbb{N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים:

$$L-\epsilon <\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}<L+\epsilon$$

$y_n$ סדרה מונוטונית עולה ממש, לכן $y_{n+1}>y_n$ או $y_{n+1}-y_n>0$ וניתן להכפיל בו את אי־השוויון. נקבל:

$$(L-\epsilon )(y_{n+1}-y_n)<x_{n+1}-x_n<(L+\epsilon )(y_{n+1}-y_n)$$

יהי $K\in \mathbb{N}$ המקיים $K>N$ . סכימת אי־השוויון לעיל תיתן לנו את אי־השוויון הבא:

$$\begin{array}{c}(L-\epsilon )\sum _{i=N}^K(y_{i+1}-y_i)<\sum _{i=N}^K(x_{i+1}-x_i)<(L+\epsilon )\sum _{i=N}^K(y_{i+1}-y_i)\\ \\ (L-\epsilon )(y_{K+1}-y_N)<x_{K+1}-x_N<(L+\epsilon )(y_{K+1}-y_N)\end{array}$$

נחלק את אי־השוויון ב־$y_{K+1}>0$ ונקבל:

$$\begin{array}{c}(L-\epsilon )(1-\frac{y_N}{y_{K+1}})<\frac{x_{K+1}}{y_{K+1}}-\frac{x_N}{y_{K+1}}<(L+\epsilon )(1-\frac{y_N}{y_{K+1}})\\ \\ (L-\epsilon )(1-\frac{y_N}{y_{K+1}})+\frac{x_N}{y_{K+1}}<\frac{x_{K+1}}{y_{K+1}}<(L+\epsilon )(1-\frac{y_N}{y_{K+1}})+\frac{x_N}{y_{K+1}}\end{array}$$

$y_n\to \mathrm{\infty }$ , לכן קיים $M\in \mathbb{N}$ המקיים $M\ge K$ כך שיתקיים:

$$L-\epsilon <\frac{x_{K+1}}{y_{K+1}}<L+\epsilon$$

לכן $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=L$ .

$◼$

הערה: כפי שניתן לראות בבירור מההוכחה, מספיק שהסדרה $y_n$ תהיה חיובית ומונוטונית עולה רק החל ממקום מסוים בסדרה ולאו דווקא החל מתחילתה.