הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט השני של ויירשטראס

משפט

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע סגור $[a,b]$ . אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום בקטע זה.

הוכחה באמצעות המשפט הראשון של ויירשטראס ומשפט ב"ו

נוכיח בה"כ לקבלת מקסימום בקטע.

על-פי המשפט הראשון של ויירשטראס, הפונקציה חסומה מלעיל בקטע $[a,b]$ . לכן כתוצאה מאקסיומת השלמות של המספרים הממשיים, קיים לה חסם עליון שנסמנו $M=\sup \{f(x)|x\in [a,b]\}$ .

כיון שכך, לכל $n\in \mathbb{N}$ קיימת נקודה $x_n\in [a,b]$ כך שמתקיים $M-\frac{1}{n}<f(x_n)\le M$ .

לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרה שבנינו קיימת תת-סדרה מתכנסת $x_{n_k}$ שגבולה $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_{n_k}=x_0\in [a,b]$ .

$M-\frac{1}{n_k}\le f(x_{n_k})\le M$ , ולכן מתקבל על-פי כלל הסנדוויץ' כי $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_{n_k})=M$ .

$f$ רציפה ומתקבל $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_{n_k})=f(x_0)$ , ולכן $f(x_0)=M$ כנדרש.

$◼$

הוכחה באמצעות המשפט הראשון של ויירשטראס בלבד

אם $M$ הוא חסם עליון בקטע אבל אינו מתקבל שם, אז $M-f(x)>0$ והפונקציה $\frac{1}{M-f(x)}$ חיובית ורציפה בכל הקטע.

על-פי המשפט הראשון של ויירשטראס היא חסומה מלעיל, כלומר קיים $z>0$ כך שלכל $x\in [a,b]$ מתקיים $\frac{1}{M-f(x)}\le z$ .

מכך נובע כי $f(x)\le M-\frac{1}{n}<M$ , בסתירה לכך ש-$M$ הוא החסם העליון.

$◼$