הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/התאפסות הנגזרת גוררת שהפונקציה קבועה

משפט

אם $f$ גזירה בקטע $(a,b)$ ומתקיים $f^{\prime }(x)=0$ לכל $x\in (a,b)$ , אזי $f$ קבועה בקטע $(a,b)$ .

הוכחה

יהיו $x_1,x_2\in (a,b)$ ונניח ללא הגבלת הכלליות כי $x_1<x_2$ .

$f$ גזירה בקטע $(a,b)$ , ובפרט גזירה בקטע הפתוח $(x_1,x_2)$ ורציפה בקטע הסגור $[x_1,x_2]$ .

תנאי [[../../גזירות/משפט הערך הממוצע של לגראנז'|משפט הערך הממוצע של לגראנז']] מתקיימים, לפיכך קיים $c\in (x_1,x_2)$ עבורו

$f^{\prime }(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=0$

מכך נובע כי $f(x_2)-f(x_1)=0$ , כלומר $f(x_1)=f(x_2)$ .

לכן $f$ קבועה בקטע $(a,b)$ .

$◼$