הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/כלל השרשרת

משפט

אם $g$ גזירה בנקודה $a$ וכן $f$ גזירה בנקודה $g(a)$ , אזי $\frac{d}{dx}(f\circ g)(a)$ קיימת וערכה $f^{\prime }(g(a))\cdot g^{\prime }(a)$ .

בכתיב לייבניץ, אם $y=f(u)$ וכן $u=g(x)$ , אזי $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ .

בניגוד לכללי האריתמטיקה לנגזרות האחרים, ההוכחה של כלל השרשרת היא מעט מורכבת. הדבר האינטואיטיבי לעשות הוא לפתח את הנגזרת של ההרכבה עפ"י ההגדרה ואז להכפיל ולחלק ב- $g(a+h)-g(a)$ כדי להגיע להגדרת הנגזרת של עבור כל אחת מהפונקציות אך הכשל בהוכחה שכזו הוא שאין זה מובטח כי $g(a+h)-g(a)$ בו מחלקים אינו שווה 0 ובמידה והוא שווה 0, ההוכחה כושלת.

לדוגמא: הפונקציה $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$ , אף שהיא גזירה בנקודה 0, בכל סביבה של 0 יש נקודה t בה $f(0)=f(t)=0$ .

בהוכחות של הכללים האחרים חיברנו וחיסרנו אברים כדי להגיע לצורות מתאימות ובכך לא היתה בעיה, אך כאן אין ברירה אלא למצוא גישה אחרת.

הקדמה להוכחה

בהוכחה זו נשתמש בסימון דלתא למטרות נוחיות בכתיבה.

נסמן $y=f(x)$ וכן $\mathrm{\Delta }y=f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)$ . אזי לפי הגדרת הנגזרת נקבל $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(a)$ .

נסמן $\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}-f^{\prime }(a)$ ואז

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\epsilon =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }[\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}-f^{\prime }(a)]=f^{\prime }(a)-f^{\prime }(a)=0$

מהגדרת אפסילון נקבל $\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(a)\mathrm{\Delta }x+\epsilon \mathrm{\Delta }x$ . נגדיר $\epsilon =0$ כאשר $\mathrm{\Delta }x=0$ ואז $\epsilon$ יהיה פונקציה רציפה של $\mathrm{\Delta }x$ .

לפיכך נוכל לכתוב

$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(a)\mathrm{\Delta }x+\epsilon \mathrm{\Delta }x$ כאשר $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\epsilon =0$ .

תכונה זו של פונקציה גזירה מאפשרת לנו להוכיח את כלל השרשרת.

הוכחה

תהי $u=g(x)$ גזירה בנקודה $a$ ותהי $y=f(u)$ גזירה בנקודה $b=g(a)$ . המשוואה שהגענו אליה בהקדמה להוכחה נותנת לנו:

$\mathrm{\Delta }u=g^{\prime }(a)\mathrm{\Delta }x+{\epsilon }_1\mathrm{\Delta }x=[g^{\prime }(a)+{\epsilon }_1]\mathrm{\Delta }x$ כאשר $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{\epsilon }_1=0$

באופן דומה, עבור $y$ :

$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(b)\mathrm{\Delta }u+{\epsilon }_2\mathrm{\Delta }u=[f^{\prime }(b)+{\epsilon }_2]\mathrm{\Delta }u$ כאשר $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{\epsilon }_2=0$ .

כעת נציב את הביטוי עבור $\mathrm{\Delta }u$ בביטוי עבור $\mathrm{\Delta }y$ .

$\mathrm{\Delta }y=[f^{\prime }(b)+{\epsilon }_2][g^{\prime }(a)+{\epsilon }_1]\mathrm{\Delta }x$

אזי,

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=[f^{\prime }(b)+{\epsilon }_2][g^{\prime }(a)+{\epsilon }_1]$

מכיון ש- $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{\epsilon }_1=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{\epsilon }_2=0$ , נקבל:

$\frac{dy}{dx}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }[f^{\prime }(b)+{\epsilon }_2][g^{\prime }(a)+{\epsilon }_1]=f^{\prime }(b)\cdot g^{\prime }(a)=f^{\prime }(g(a))\cdot g^{\prime }(a)$

$◼$