הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/כלל לופיטל

משפט

תהיינה $f,g$ פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של $a$ כך ש־$g^{\prime }(x)\ne 0$ , וכן $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0$ .

אם הגבול $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$ קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$ .

הוכחה

נגדיר שתי פונקציות:

$$\begin{array}{c}F(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)& :x\ne a\\ 0& :x=a\end{array}\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}F(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)=0=F(a)\\ G(x)=\{\begin{array}{cc}g(x)& :x\ne a\\ 0& :x=a\end{array}\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}G(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}g(x)=0=G(a)\end{array}$$

ולכן הפונקציות $F,G$ רציפות ב־$a$ ובסביבת $\delta$ שלה. נתבונן בקטע $[a,x]$ כאשר $|x-a|<\delta$ .

לפי הנ"ל, $F,G$ רציפות בקטע $[a,x]$ , גזירות בקטע $(a,x)$ ו־$G^{\prime }\ne 0$ בקטע. אזי לפי [[../../גזירות/משפט הערך הממוצע של קושי|משפט הערך הממוצע של קושי]] קיים $c\in (a,x)$ עבורו

$$\frac{F^{\prime }(c)}{G^{\prime }(c)}=\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}=\frac{F(x)}{G(x)}$$

נשים לב כי $\underset{x\to a^{+}}{\lim }c=a$ מכיון ש־$c\in (a,x)$ וזאת כתוצאה ישירה של [[../../גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/כלל הסנדוויץ'|כלל הסנדוויץ']]. נשתמש בעובדה זו בחישוב הגבול הבא:

$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{F(x)}{G(x)}=\underset{c\to a^{+}}{\lim }\frac{F^{\prime }(c)}{G^{\prime }(c)}=\underset{c\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=L$$

באופן דומה, בעזרת קטע $[x,a]$ מוכיחים כי $\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L$ .

לכן $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$ .

$◼$

משפט

תהיינה $f,g$ פונקציות גזירות בסביבת $a$ כך ש- $g^{\prime }(x)\ne 0$ , וכן $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=0$ .

אם הגבול $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$ קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$ .

הוכחה

יהי $t=\frac{1}{x}$. בשלב הזה ההוכחה מתפצלת עבור המקרים $x\to +\mathrm{\infty }$ ו- $x\to -\mathrm{\infty }$ , כאשר ההבדל בעיקרו מתבטא רק בשלב הבא: אם $x\to \mathrm{\infty }$ אז $t\to 0^{+}$ (בהוכחה עבור $x\to -\mathrm{\infty }$ היינו מקבלים $t\to 0^{-}$). נוכיח את המקרה $x\to \mathrm{\infty }$ בלבד. אזי,

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(\frac{1}{t}\right)}{g\left(\frac{1}{t}\right)}$

כעת נשתמש בכלל לופיטל עבור נקודה סופית, אותו הוכחנו לעיל.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(\frac{1}{t}\right)}{g\left(\frac{1}{t}\right)}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(\frac{1}{t}\right)\cdot (-\frac{1}{t^2})}{g^{\prime }\left(\frac{1}{t}\right)\cdot (-\frac{1}{t^2})}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(\frac{1}{t}\right)}{g^{\prime }\left(\frac{1}{t}\right)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

כדרוש. מ.ש.ל.

משפט

תהיינה $f,g$ פונקציות גזירות בסביבת $a$ כך ש- $g^{\prime }(x)\ne 0$ , וכן $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\pm \mathrm{\infty }$ .

אם הגבול $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$ קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$ .

הוכחה

נרשום $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}$ ובכך אנחנו מקבלים גבול מהצורה $\frac{0}{0}$ המקיים את כל תנאי כלל לופיטל עבור מקרה זה, אותו הוכחנו לעיל. נשתמש בכלל לופיטל ונקבל:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{-\frac{g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}}{-\frac{f^{\prime }(x)}{[f(x){]}^2}}$

אזי, קיבלנו $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{g^{\prime }(x)\cdot [f(x){]}^2}{f^{\prime }(x)\cdot [g(x){]}^2}$ .

על-ידי מניפולציה אלגברית פשוטה, אנו מקבלים:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}\cdot \frac{[g(x){]}^2}{[f(x){]}^2}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{g^{\prime }(x)\cdot [f(x){]}^2}{f^{\prime }(x)\cdot [g(x){]}^2}\cdot \frac{[g(x){]}^2}{[f(x){]}^2}$

ומכך נובע:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{g(x)}{f(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{g^{\prime }(x)}{f^{\prime }(x)}$

כיון ש- $f$ ו- $g$ שואפים ל- $\pm \mathrm{\infty }$ , אנו מקבלים $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ , כדרוש. מ.ש.ל.