הוכחות מתמטיות/שונות/מספר אלגברי

מתוך testwiki
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

מספר אלגברי

מספר מרוכב נקרא מספר אלגברי אם הוא שורש של פולינום בעל מקדמים רציונליים (ניסוח שקול: בעל מקדמים שלמים).

נסמן את קבוצת המספרים האלגבריים ℚ‾.

מספר מרוכב שאינו אלגברי נקרא מספר טרנסצנדנטי (או מספר אי־אלגברי).

דוגמאות

  • המספרים 1,2,i אלגבריים.
  • המספרים e,π,eπ טרנסצנדנטיים (אי־אלגבריים).

תכונות

  • סכום/מכפלת מספרים אלגבריים הוא/היא מספר אלגברי.
  • נגדי של מספר אלגברי הוא מספר אלגברי.
  • הופכי של מספר אלגברי השונה מ־0 הוא מספר אלגברי.

הוכחה

  • יהיו α,β∈ℚ‾. אזי קיימים פולינומים A,B∈ℚ[z] עבורם A(α)=B(β)=0.
יהי פולינום
P(z)=∑k=0npkzk=pn∏k=1n(z−πk)∈ℚ[z]
על פי תוצאות המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים:
לכל 1≤k≤n קיים פולינום מתוקן Pk∈ℚ[z] אשר שורשיו הם סכומי/מכפלות כל k מבין שורשי P(z).
בפרט, הדבר מתקיים עבור הפולינום A(z)B(z)∈ℚ[z] ועבור k=2.
לכן α+β∈ℚ‾ וגם α⋅β∈ℚ‾.
  • מתקיים כי −1∈ℚ‾. אזי לכל α∈ℚ‾ מתקיים −α∈ℚ‾ כמכפלת מספרים אלגבריים.
  • יהי 0≠α∈ℚ‾. נגדיר:
A(z)=∑k=0nakzk∈ℚ[z]A−1(z)=∑k=0nan−kzk∈ℚ[z]
מתקיים כי A(α)=0 אם ורק אם A−1(α−1)=0. לכן α−1∈ℚ‾.

◻

הערה: מזה נובע כי α−β∈ℚ‾, וכן αβ∈ℚ‾ כאשר β≠0.

שלם אלגברי

מספר מרוכב נקרא שלם אלגברי אם הוא שורש של פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים.

נסמן את קבוצת השלמים האלגבריים ℤ‾.

תכונות

  • סכום/מכפלת שלמים אלגבריים הוא/היא שלם אלגברי.
  • נגדי של שלם אלגברי הוא שלם אלגברי.

הוכחה

◻

תוצאות חשובות

משפט. לכל α∈ℚ‾ קיים m∈ℤ עבורו mα∈ℤ‾.תבנית:ש הוכחה. יהי α∈ℚ‾. אזי קיים פולינום

A(z)=∑k=0nakzk∈ℤ[z]:A(α)=0(an)n−1A(z)=∑k=0nak(an)n−1−k(anz)k=∑k=0nbk(anz)k∈ℤ[z]

ומתקיים כי bn=an(an)n−1−n=1.

◻

משפט. אם α∈ℚ שלם אלגברי אזי α∈ℤ.תבנית:ש הוכחה. יהי α=pq שלם אלגברי, כאשר p∈ℤ,q∈ℕ וכן gcd⁡{p,q}=1.תבנית:ש אזי קיים פולינום מתוקן A∈ℤ[z] עבורו

A(pq)=a0+a1(pq)+⋯+an−1(pq)n−1+(pq)n=0(−a0)qn+(−a1p)qn−1+⋯+(−an−1pn−1)q=pn

לכן q מחלק את pn. אך מן הנתון gcd⁡{p,q}=1 מתקיים כי q=1.תבנית:ש לכן α=p∈ℤ.

◻

אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=הוכחות_מתמטיות/שונות/מספר_אלגברי&oldid=1984"