הוכחות מתמטיות/שונות/תחום הגדרת שורש טבעי למספר טבעי

$\sqrt[n]{a}$ הוא מספר שלם או אי־רציונלי לכל $a,n\in {\mathbb{N}}_{>1}$ .

הוכחה

נניח בשלילה כי $\sqrt[n]{a}=\frac{b}{c}$ עבור מספרים זרים $b,c\in {\mathbb{N}}_{>1}$ (שמחלקם המשותף המקסימלי הוא 1).

$\begin{array}{c}a={\left(\frac{b}{c}\right)}^n=\frac{b^n}{c^n}\\ a{c}^n=b^n\end{array}$

לפי המשפט היסודי קיים מספר ראשוני $p$ עבורו $p|c^n$ .

לפי הלמה של אוקלידס אם ראשוני מחלק מכפלה, בהכרח הוא מחלק לפחות אחד מגורמיה. לפיכך

$p|c^n⟹p|c⟹p|a{c}^n⟹p|b^n⟹p|b$

קיבלנו $p|b$ וגם $p|c$ אף כי הנחנו תחילה שהם זרים. סתירה.

$◼$