הסתברות/מבוא/המודל ההסתברותי

תבנית:הסתברות כשאנו אומרים שלמטבע הוגן הסתברות $\frac{1}{2}$ לתוצאת "עץ" בהטלה, למה בעצם כוונתנו? אינטואיטיבית, ברור לנו שאם המטבע הוגן, בערך $\frac{1}{2}$ מההטלות יצאו כך. זו הגדרה מובנת אינטואיטיבית, אך היא אינה מדויקת במיוחד. בפרק זה נגדיר הסתברויות בצורה מדויקת יותר, ובמהלך הספר נראה את הקשר בין ההגדרות המקובלות היום לבין הגדרה אינטואיטיבית זו.

מושגים בסיסיים

כדי להגדיר את מושג ההסתברות, יש להגדיר מספר מושגים נלווים.

מרחב מדגם

דוגמאות:

1. אם מטילים קוביה, אז מרחב המדגם הוא $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$ – אלו התוצאות האפשריות.
2. אם מטילים מטבע, אז מרחב המדגם הוא הקבוצה המורכבת מ"עץ" ו"פאלי".
3. אם מבקשים לנחש מספר שלם כלשהוא, אז מרחב המדגם $\mathbb{Z}=\{\dots ,-1,0,1,2,\dots \}$ הוא אינסופי (ובר מניה).
4. אם מבקשים לנחש שבר בין 0 ל־1, אז גם כן מרחב המדגם אינסופי.

מאורע

אינטואיטיבית, מאורע הוא משהו שאפשר לשייך לו הסתברות כלשהיא.

לדוגמא, אם הניסוי הוא זריקת קוביה, אפשר לדבר על המאורעות הבאים, שכ"א מהם תת־קבוצה של $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$:

1. המאורע בו התוצאה היא 1 – תת־הקבוצה $\{1\}$
2. המאורע בו התוצאה היא 2 או 3 – תת־הקבוצה $\{2,3\}$
3. המאורע בו התוצאה היא זוגית – תת־הקבוצה $\{2,4,6\}$
4. המאורע בו אין תוצאה – תת־הקבוצה $\varnothing$

אם הניסוי הוא בחירת מספר בין 0 ל־1, אז אפשר לדבר על המאורעות הבאים, שכ"א מהם תת־קבוצה של $\{x:0\le x\le 1\}$:

1. המאורע בו התוצאה היא שליש: $\left\{\frac{1}{3}\right\}$
2. המאורע בו התוצאה קטנה מחצי: $\{x:0\le x\le \frac{1}{2}\}$

מצד שני, אי־אפשר לדבר על מאורע בו התוצאה גדולה מ־2, מפני שמדובר בקבוצה שאיננה תת־קבוצה של מרחב המדגם.

מאורעות זרים

לדוגמא, אם הניסוי הוא זריקת קוביה:

1. המאורעות: התוצאה היא 1, והתוצאה היא 2, הם זרים, מפני ש: $\{1\}\cap \{2\}=\varnothing$
2. המאורעות: התוצאה היא 1, והתוצאה היא אי־זוגית, אינם זרים, מפני ש: $\{1\}\cap \{1,3,5\}=\{1\}$

הסתברות

בעזרת המושגים שהוגדרו עד כה, מגדירים את פונקציית ההסתברות.

הגדרה

בגישה המודרנית, מגדירים הסתברות כפונקציה המשייכת מספר בין 0 ל־1 לכל מאורע, כך שהפונקציה מקיימת תנאים מסוימים.

דוגמאות וקביעת פונקציית ההסתברות

נשים לב שהגדרת ההסתברות איננה אומרת לנו מה הסתברות ארועים שונים, אלא האם קביעת ערכי הסתברות לארועים שונים נחשבת פונקציית הסתברות תקינה. (תורת ההסתברות בעצמה, למעשה, אינה עוסקת בעצמה בקביעת הסתברויות למאורעות.)

להלן דוגמא לפונקציית הסתברות.

להלן עוד דוגמא לפונקציית הסתברות.

ראינו שתי פונקציות הסתברות תקינות עבור זריקת קוביה: הראשונה עבור קוביה הוגנת, השניה עבור קוביה מוטה לתוצאה 1. להלן דוגמא להסתברות לא־תקינה.

משלוש הדוגמאות האחרונות קל לראות את החוקיות הבאה. תבנית:משפט

ישנה פונקציית הסתברות נפוצה מאד שאפשר להגדיר בצורה זו. תבנית:מבנה תבנית לדוגמא, בניסוי הטלת מטבע, קבוצת מדגם סימטרית תאמר שהסיכוי ל"עץ" הוא הסיכוי ל"פאלי", וכ"א מהם הוא 0.5.

תכונות

על-ידי שימוש חוזר באקסיומת ההסתברות השלישית, נוכל לקבל את המשפט הבא: תבנית:משפט

כשמדובר במאורעות שאינם בהכרח זרים, המצב מסובך מעט יותר. (בהמשך, מומלץ להעזר בתרשים בצד שמאל.)

ראשית, קל לראות כי מתקיים המשפט הבא: תבנית:משפט

אם מחברים למשפט ”איחוד מאורעות לא בהכרח זרים” את האקסיומה השניה, נקבל את התוצאה הבאה: תבנית:משפט

אפשר להכליל את משפט:איחוד מאורעות לא בהכרח זרים, למשפט הבא: תבנית:משפט

הגרסה הכללית של משפט זה היא עקרון ההכלה וההפרדה.

כמו כן, אפשר להכליל את משפט: הסתברות איחוד שני מאורעות אינה יותר גדולה מסכום הסתברויותיהן, למשפט הבא: תבנית:משפט