הסתברות/משתנים מקריים/פונקציות של משתנים מקריים

צפיפות של טרנספורמציה

כאשר מדובר בפונקציות התפלגות פשוטות, ניתן לבצע פעולות בתוך פונקצית ההתפלגות:

F_{Y} (y) = ℙ (Y \leq y) = ℙ (h (X) \leq y) = ℙ (X | h (X) \leq y)

אך במקרים רבים פשוט נעדיף להעזר במשפט: תבנית:משפט

תהי $h (x)$ ונניח כי $h^{'} (x) \neq 0$ .

נסתכל על פונקציית ההתפלגות: $F_{Y} (y)$ :

$F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (h (X) \leq y) = P (X \leq h^{- 1} (y)) = F_{X} (h^{- 1} (y))$

ואם נגזור את שני האגפים לפי $y$ נקבל את התוצאה המבוקשת.

הערה: ההוכחה היתה עבור פונקציה $h$ עולה, ההוכחה זהה עבור פונקציה יורדת אך עם החלפת סימנים במקומות מסוימים.

(להשלים)

(להשלים)