הסתברות/תוחלת ומומנטים/אי שוויון צ'בישב

אי שיוויון צ'בישב (נקרא גם: צ'בישף וגם: צ'ביצ'ב) נותן חסם להסתברות לקבל ערכים רחוקים מן התוחלת. במילים אחרות: מאפשר להעריך את התפלגות התוחלת. על פי אי-שיוויון צ'בישב, כאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מן הממוצע גם היא קטנה.

שימו לב כי עבור ערכי b קטנים החסם של צ'בישב גדול מאחד. לכן החסם יעיל כאשר מדובר ב-b-ים גדולים. כמו-כן, במידה ופונקצית הצפיפות סימטרית סביב התוחלת, ומעוניינים רק בצד אחד של התוחלת, ניתן לשפר את החסם פי 2.

דוגמה

אדם יוצא לעבודה כל יום בשעה 7:30. הזמן הממוצע שלוקח לו להגיע הוא 30 דקות (כלומר ${\mu }_x=30$), וסטיית התקן היא 5 דקות (${\sigma }_x=5$). ביום מסוים מגיע לקוח למקום העבודה ב-8:30. נראה כי הסיכוי שהלקוח יגיע לפני האדם קטנה מ-3%:

אם סטיית התקן הינה 5 דקות, אזי השונות היא 25 דקות², מההגדרה כי $Var\left(X\right)={\sigma }_x^2$.

אנו מחפשים את $P(X>60)$, נבצע מעבר מתמטי ונקבל: $P(X>60)=P((X-30)>30)\le P(|X-30|\ge 30)\le \frac{25}{30^3}<\frac{3}{100}=3\mathrm{\%}$

מש"ל