חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/מבוא

הקדמה

אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה של גזירה. במילים אחרות, מציאת הפונקציה באמצעות הנגזרת שלה. כשמתעסקים עם אינטגרלים הרעיון הוא לחשוב על נגזרות, אבל ב"רוורס".תבנית:הערה

לנגזרת יכולות להיות מספר פונקציות מתאימות, בניגוד לפונקציה לה יש נגזרת אחת. למשל, הפונקציות עבורה הנגזרת $F^{\prime }(x)=x^2$ יכולות להיות: $f(x)=\frac{x^3}{3}$, $f(x)=\frac{x^3}{3}+1$ ,$f(x)=\frac{x^3}{3}+2$ וכן הלאה. לכן, בתום האינטגרציה נוסיף את הסימן C, קבוע האינטגרציה, נעלם המייצג את כלל הפונקציות המתאימות לנגזרת זו.

פונקציה קדומה ($F(x)$) - היא הפונקציה הראשונית, אותה קיבלו לאחר האינטגרציה. דהיינו, זוהי הפונקציה הראשונה אותה גזרו $F(x)=\frac{x^3}{3}$ וקיבלו נגזרת מסוימת, פונקציה חדשה $f(x)=x^2$ . פונקציה $F(x)$ נקראת פונקציה קדומה של $f(x)$ בקטע כלשהו, אם לכל נקודה בקטע $F^{\prime }(x)=f(x)$ . כלומר $f(x)$ היא הנגזרת של $F(x)$ בקטע.

אינטגרל לא-מסוים - כל הפונקציות הקדומות עבור נגזרת (שיפוע) מסוימת. סימונם $\int f(x)dx$ .

הנגזרת היא שיפוע מכאן שהיא מבטאת את: $m=f^{\prime }(x)=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ ובמילים אחרות: $m=f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$ (דלתא $\mathrm{\Delta }$ = מרחק). כאשר $F^{\prime }(x)$ (הנגזרת של פונקציה קדומה) שווה $f(x)$ (לפונקציה חדשה) נוכל לרשום $\frac{dy}{dx}=F^{\prime }(x)=f(x)$ . באמצעות אינטגרציה ל- $d$ (לא חשוב איך) נקבל $dy=f(x)dx$ . על-ידי ביצוע לשני האגפים (שוב, לא חשוב איך) נקבל $y=\int f(x)dx$ . לכן נוכל לומר $\int f(x)dx=F(x)+C$ כאשר $F^{\prime }(x)=f(x)$

ראו גם

דף נוסחאות המכיל את כל הכללים באינטגרלים לבגרות, מתוך סיכומונה.