חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ'

חוקי הגבולות

עד כה השתמשנו בגרפים ובחישובים מספריים גרידא כדי לחשב גבולות אבל ראינו דוגמא בה שיטות אלו לא בהכרח הובילו לתשובה הנכונה. בזאת מוצגים חוקי הגבולות הבאים, ככלי אמין יותר לחישוב גבולות:

את כל אחד מהחוקים האלו ניתן לנסח במילים. גבול של סכום הוא סכום הגבולות, גבול של מנה הוא מנת הגבולות וכדומה. הגבולות האלו בבירור מתקיימים, אינטואיטיבית. למשל, עבור החוק הראשון, אם $f(x)$ שואפת למספר $L$ ו־$g(x)$ שואפת למספר $M$ , זה נשמע הגיוני שהגבול של סכום הפונקציות שואף ל־$L+M$ . עם זאת, את כולם נדע להוכיח במדויק מאוחר יותר. נציג מספר חוקים נוספים שימושיים.

אם נשתמש בכלל למכפלת גבולות $n$ פעמים כאשר $f(x)=g(x)$ , נקבל את הכלל הבא:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x{)}^n={(\underset{x\to a}{\lim }f(x))}^n$

כאשר $n\in \mathbb{N}$ .

הכללים הבאים הם כללים בסיסיים אשר ברורים אינטואיטיבית (ציירו את הגרפים של $y=c$ ושל $y=x$ במידה וזה לא נראה ברור):

$\begin{array}{c}\underset{x\to a}{\lim }c=c\\ \underset{x\to a}{\lim }x=a\end{array}$

קיים גם כלל "הפוך" לכלל השישי שהגדרנו (גבול של פונקציה בחזקה הוא הגבול של הפונקציה כאשר הגבול עצמו הוא בחזקה), להלן:

$\underset{x\to a}{\lim }\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\underset{x\to a}{\lim }f(x)}$

כאשר <$n\in \mathbb{N}$ . אם $n$ זוגי, הכלל מתקיים רק אם $\underset{x\to a}{\lim }f(x)>0$ .

דוגמא: חשב את הגבול $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-2x+4\sqrt[3]{x}-1}{x+8}$ , אם הוא קיים.

תשובה:

$$\begin{array}{cc}\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-2x^2+4x\sqrt[3]{x}-1}{x+8}& =\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}[x^3-2x^2+4x\sqrt[3]{x}-1]}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}[x+8]}=\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}{x}^3-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}2x^2+\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}4x\sqrt[3]{x}-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}1}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}x+\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}8}\\ & =\frac{{(\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}x)}^3-2\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}{x}^2+4\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}x\sqrt[3]{x}-1}{1+8}=\frac{1^3-2{(\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}x)}^2+4(\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}x\cdot \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}\sqrt[3]{x})-1}{9}\\ & =\frac{-2(1{)}^2+4\left(1\cdot \sqrt[3]{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}x}\right)}{9}=\frac{-2+4(1\cdot \sqrt[3]{1})}{9}=\frac{-2+4}{9}=\frac{2}{9}\end{array}$$

בחישוב גבול זה, השתמשנו בכל חוקי הגבולות והכללים הנ"ל בשלבי הפתרון השונים. ראוי לציין כי המעבר הראשון (מגבול של מנה למנה של גבולות) נעשה תחת ההנחה שגבול המכנה אינו 0 ואילו היינו מקבלים הוא אכן 0, המעבר לא היה נכון והיינו נאלצים לחזור לנקודת ההתחלה ולחפש דרך אחרת לחישוב הגבול.

דוגמא: חשב את הגבול $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$ , אם הוא קיים.

תשובה: כאן אנחנו נתקלים במכשול קטן. אנו רואים כי אם נשתמש בחוק החמישי לגבולות (גבול של מנה שווה למנת הגבולות) יווצר לנו במכנה גבול שערכו 0. לפיכך, איננו יכולים להשתמש בחוק זה כאן. במקום זאת, נעשה קצת מניפולציה אלגברית. נשים לב כי $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)=x-1$ ונכתוב:

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}+1}$$

כעת אנחנו יכולים להשתמש בחוק החמישי לגבולות.

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}1}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}[\sqrt{x}+1]}=\frac{1}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}\sqrt{x}+\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}1}=\frac{1}{\sqrt{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}x}+1}=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{2}$$

דוגמא: חשב את ערכו של הגבול $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^2}$ , אם הוא קיים.

תשובה: גם כאן אנחנו לא יכולים להשתמש בחוק הגבולות החמישי. כאן המניפולציה האלגברית שנעשה היא סילוק השורש מהמונה.

$$\begin{array}{cc}\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^2}& =\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^2}\cdot \frac{\sqrt{x^2+4}+2}{\sqrt{x^2+4}+2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x^2+4)-4}{x^2(\sqrt{x^2+4}+2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2}{x^2(\sqrt{x^2+4}+2)}\\ & =\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+4}+2}=\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 2}1}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 2}(\sqrt{x^2+4}+2)}=\frac{1}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 2}\sqrt{x^2+4}+\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 2}2}\\ & =\frac{1}{\sqrt{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 2}(x^2+4)}+2}=\frac{1}{\sqrt{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 2}{x}^2+\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 2}4}+2}=\frac{1}{\sqrt{{(\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 2}x)}^2+4}+2}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2^2+4}+2}=\frac{1}{\sqrt{4+4}+2}=\frac{1}{\sqrt{8}+2}=\frac{1}{2(\sqrt{2}+1)}\cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\end{array}$$

מניפולציות אלגבריות שכאלו הן לעתים הכרחיות כדי להגיע לגבול שאנחנו יכולים לחשב אותו באמצעות חוקי הגבולות.

עד כה חישבנו גבולות באופן מדוקדק לפי חוקי הגבולות, כאשר כל צעד וצעד שעשינו מנומק לפי אחד מחוקי הגבולות שהגדרנו קודם לכן. אבל, מהסתכלות בחישובי הגבולות שעשינו, נוצר הרושם כי מרגע שהגענו לצורה מוגדרת של הגבול ואילך, היינו יכולים פשוט להציב את המספר אליו $x$ שואף אל תוך הגבול באופן מיידי ולקבל את התשובה הנכונה. בעקבות זאת, נראה את הכלל החדש הבא:

• אם $f$ היא פונקציה אלמנטרית המוגדרת בנקודה $x=a$ , אזי מתקיים $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$ .

מהי פונקציה אלמנטרית? פונקציה אלמנטרית היא פונקציה אשר ניתן לבנות אותה על-ידי הפעולות האריתמטיות הבסיסיות (חיבור, חיסור, כפל, חילוק, הוצאת חזקה ושורש) ופעולת ההרכבה ממספר פונקציות בסיסיות: הפונקציה המעריכית $e^x$ , הפונקציה הלוגריתמית ${\log }_a(x)$ , הפונקציות הטריגונומטריות והפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות, הפונקציות ההיפרבוליות והפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות, פולינומים והפונקציות ההפוכות לפולינומים (פונקציות שורש, למשל הפונקציה $f(x)=\sqrt[5]{x}$). פונקצית הביסייד, אותה ראינו כשעסקנו בגבולות חד-צדדיים, היא דוגמה לפונקציה לא אלמנטרית. לא ניתן להגדיר אותה עם נוסחה סגורה (כמו שאר הפונקציות בהן עסקנו כאן) ולא משנה כמה ננסה, לא נצליח להגדירה באמצעות הפעולות האריתמטיות הבסיסיות והפונקציות הבסיסיות הנ"ל. נראה בפרק הבא כי פונקציות (לא בהכרח אלמנטריות) אשר מקיימות את התכונה של $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$ קרויות פונקציות רציפות וכי יש להן תכונות רבות ומעניינות.

הכלל הבא עוזר לנו לחשב גבולות באינסוף:

• אם $r>0$ מספר ממשי, אז מתקיים $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x^r}=0$ .
• אם $r>0$ מספר ממשי עבורו $x^r$ מוגדר לכל $x$ , אז מתקיים $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x^r}=0$ .

דוגמא: חשב את ערכו של הגבול $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{9x^2+x-4}{-2x^2+3x-10}$ , אם הוא קיים.

קובץ:Manatpolynomim.PNG

הפונקציה המחושבת מימין

תשובה: כאשר $x$ שואף לאינסוף גם המונה וגם המכנה שואפים לאינסוף. בעגה מתמטית, הדבר קרוי גבול מצורה בלתי־מוגדרת $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ . אין זה ברור לאן שואפת המנה כאשר גם המונה וגם המכנה שואפים לאינסוף. כמו בדוגמה הקודמת, בה נתקלנו בצורה הבלתי־מוגדרת $\frac{0}{0}$ , גם כאן נצטרך לעשות מעט מניפולציה אלגברית כדי להגיע לגבול שאותו אנו יודעים לחשב. כאן המניפולציה האלגברית הדרושה (וגם בגבולות רבים אחרים באינסוף) היא חלוקת המונה והמכנה שניהם בחזקה הגדולה ביותר של $x$ המופיעה במכנה. לפיכך:

$$\begin{array}{cc}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{9x^2+x-4}{-2x^2+3x-10}& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{9x^2+x-4}{x^2}}{\frac{-2x^2+3x-10}{x^2}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{9+\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}}{-2+\frac{3}{x}-\frac{10}{x^2}}=\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}[9+\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}]}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}[-2+\frac{3}{x}-\frac{10}{x^2}]}\\ & =\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}9+\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{x}-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{4}{x^2}}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}(-2)+\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{3}{x}-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{10}{x^2}}=\frac{9+0-4\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2}}{-2+3\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{x}-10\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2}}\\ & =\frac{9-4\cdot 0}{-2+3\cdot 0-10\cdot 0}=-4.5\end{array}$$

הגבול הוא $-4.5$ . שימו לב כי למעשה גילינו כי הישר $y=-4.5$ מהווה אסימפטוטה אופקית לפונקציה באינסוף. הגרף בצד מציג את הפונקציה בתחום $(-100,100)$ . אנחנו רואים בגרף כי הישר $y=-4.5$ מהווה אסימפטוטה אופקית לפונקציה לא רק באינסוף אלא גם במינוס אינסוף. גם זאת ניתן להוכיח לפי חוקי הגבולות וההוכחה דומה מאוד להוכחה הנ"ל עבור אינסוף.

קובץ:Abs.PNG

פונקציית הערך המוחלט

דוגמא: חשב את ערכו של הגבול $\underset{x\to 0}{\lim }|x|$ , אם הוא קיים.

תשובה: כמו פונקצית הביסייד, גם פונקציית הערך המוחלט היא אינה אלמנטרית. נזכיר כי היא מוגדרת באופן הבא:

$|x|=\{\begin{array}{cc}x& :x\ge 0\\ -x& :x<0\end{array}$

לפיכך, נאלץ לחשב את הגבולות החד־צדדיים שלה בנקודה $x=0$ ובמידה והם יהיו שווים, יהיה לפונקציה גבול (גם מימין וגם משמאל) בנקודה, גבול סופי.

עבור $x>0$ מתקיים $|x|=x$ , לכן:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }|x|=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x=0$

עבור $x<0$ מתקיים $|x|=-x$ , לכן:

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }|x|=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }-x=0$

לפיכך, הגבולות החד־צדדיים של הפונקציה בנקודה $x=0$ הם קיימים, סופיים ושווים, לכן:

$$\underset{x\to 0}{\lim }|x|=0$$

גרף הפונקציה מוצג משמאל ונראה שהוא מאשש את מסקנתנו כי הפונקציה שואפת ל־0 כאשר $x$ שואף ל־0.

פונקציית הערך השלם

דוגמא: פונקציית הערך השלם (נקראת גם פונקצית רצפה) היא פונקציה המחזירה לכל מספר ממשי $x$ את המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל־$x$ . הסימון הרווח לפונקציה הוא $\lfloor x\rfloor$ . למשל $\lfloor 2.7\rfloor =2,\lfloor -2.1\rfloor =-3,\lfloor -2\rfloor =-2$ . גרף הפונקציה מוצג משמאל. חשב את ערכו של הגבול $\underset{x\to 2}{\lim }\lfloor x\rfloor$ , אם הוא קיים.

תשובה: נחשב את הגבולות החד־צדדיים של הפונקציה. מכיון ש־$\lfloor x\rfloor =2$ עבור $2\le x<3$ , הגבול הימני הוא:

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\lfloor x\rfloor =2$

מכיון ש־$\lfloor x\rfloor =1$ עבור $1\le x<2$ , הגבול השמאלי הוא:

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\lfloor x\rfloor =1$

הגבול הימני והגבול השמאלי קיימים וסופיים אך הם אינם שווים, לכן הגבול $\underset{x\to 2}{\lim }\lfloor x\rfloor$ אינו קיים.

קישורים חיצוניים

• תרגילים (עם פתרונות מלאים) בחישוב גבולות סופיים
• תרגילים (עם פתרונות מלאים) בחישוב גבולות אינסופיים ובאינסוף

כלל הסנדוויץ'

כלל הסנדוויץ' הוא אחד מהכללים השימושים ביותר בחישוב גבולות. גבולות מסוימים שנראים קשים מאוד או אף בלתי־אפשריים לחישוב הופכים לגבולות קלים מאוד לחישוב בעזרתו. לפני שנציג אותו, נציג עוד כלל שימושי: תבנית:משפט

המשפט נשמע הגיוני. אם פונקציה כלשהי קטנה או שווה לפונקציה אחרת בסביבת $x=a$ כלשהו, אז הגבול שלה קטן או שווה לגבול של הפונקציה האחרת. משפט וזה וכן משפט הסנדוויץ' יוכחו בהמשך. תבנית:משפט

במילים אחרות, אם פונקציה שגבולה לא ידוע חסומה בין שתי פונקציות אחרות שגבולותיהן ידועים ושווים, אז לפונקציה החסומה בהכרח יש גבול והוא שווה לגבול הפונקציות החוסמות. $a,L$ יכולים להיות מספרים, אינסוף או מינוס אינסוף. בכל מקרה המשפט מתקיים. ראוי לציין כי אי־השוויון $f(x)\le h(x)\le g(x)$ צריך להתקיים רק בסביבת $a$ ואין זה מעניין אותנו אם הוא מתקיים או לא במקומות אחרים בתחומי הפונקציות. נראה שתי דוגמאות לשימוש בכלל הסנדוויץ'.

קובץ:SqueezeTheorem.JPG

גרפי הפונקציות בדוגמא מימין

דוגמא: חשב את ערכו של הגבול $\underset{x\to 0}{\lim }x\sin (x)$ , אם הוא קיים.

תשובה: את הגבול הנ"ל אנחנו יכולים לחשב בקלות באמצעות החוקים שהגדרנו עד כה. לפי הכלל למכפלת גבולות, הוא יהפך ל: $\underset{x\to 0}{\lim }x\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\sin (x)$ ומכיון ששני הגבולות האלו קיימים וסופיים וערכם 0, גם ערכו של גבול שלנו יהיה 0. אבל הבה ננסה לחשב את הגבול בדרך אחרת, באמצעות כלל הסנדוויץ'. אם התוצאה תהיה אפס גם בדרך זו, זה יהווה אישוש של נכונות הדרך הקודמת.

ידוע לנו כי פונקציית הסינוס חסומה בין הישרים $y=\pm 1$ , או בכתיב פורמלי:

$-1\le \sin (x)\le 1$

נניח ללא הגבלת הכלליות כי $x>0$ ונכפיל את כל אי־השוויון ב־$x$ . נקבל

$-x\le x\sin (x)\le x$

לפי הגדרת כלל הסנדוויץ' הנ"ל, אנחנו רואים כי הפונקציות שלנו כאן הן

$\begin{array}{cc}f(x)& =-x\\ g(x)& =x\\ h(x)& =x\sin (x)\end{array}$

נחשב את הגבולות של הפונקציות החוסמות:

$\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }(-x)=0\\ \underset{x\to 0}{\lim }g(x)=\underset{x\to 0}{\lim }x=0\end{array}$

לכן לפי כלל הסנדוויץ'

$$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin (x)=0$$

ההוכחה עבור המקרה $x<0$ דומה מאוד. התמונה בצד מציגה את הגרפים של שלושת הפונקציות ומספקת לנו המחשה ויזואלית של כלל הסנדוויץ'.

קובץ:Sandwich2.PNG

הפונקציה ושתי הפונקציות החוסמות

דוגמא: חשב את ערכו של הגבול $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ , אם הוא קיים.

תשובה: את הגבול הזה אנחנו כבר לא יכולים לחשב עם חוקי הגבולות שהגדרנו, מפני שאם נשתמש בחוק למכפלת גבולות נקבל את הגבול $\underset{x\to 0}{\lim }\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ שאינו קיים (ראינו זאת כאשר דנו בהגדרה הלא־מדויקת של הגבול).

$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)\ne \underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\sin \left(\frac{1}{x}\right)$

אך אין זה אומר שהגבול הרצוי אינו קיים. הבה ננסה לחשבו באמצעות כלל הסנדוויץ'. פונקציית הסינוס חסומה בין הישרים $y=\pm 1$ , כלומר:

$-1\le \sin \left(\frac{1}{x}\right)\le 1$

נכפיל את כל אי־השוויון ב-$x^2$ (שהוא ביטוי חיובי והסימנים לא ישתנו) ונקבל:

$x^2\le x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)\le x^2$

נותר לנו רק למצוא את הגבול של הפונקציות החוסמות כאשר $x$ שואף ל־0.

$\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }(-x^2)=-0^2=0\\ \underset{x\to 0}{\lim }{x}^2=0^2=0\end{array}$

לכן לפי כלל הסנדוויץ'

$$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)=0$$

הגרפים של שלושת הפונקציות מוצגים משמאל והם מאששים את מסקנתנו לגבי הגבול.

נסיים עם משפט שימושי נוסף לחישוב גבולות: תבנית:משפט

דוגמא: נחשב את הגבול $\underset{x\to 0}{\lim }x\sin (x)$ תוך שימוש במשפט.

תשובה: מכיוון שהפונקציה $f(x)=\sin (x)$ חסומה בסביבת $x=0$ (למעשה, הפונקציה חסומה בכל תחומה, אך המשפט נכון גם עבור פונקציות החסומות רק בסביבה הרלוונטית) וכן $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=\underset{x\to 0}{\lim }x=0$ , בעזרת שימוש במשפט לעיל, נקבל

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to 0}{\lim }x\sin (x)=0$$

חישבנו גבול זה קודם לכן עם כלל הסנדוויץ' אך ניתן לראות כי יותר קל להשתמש במשפט הנ"ל במקרה הזה.

קישורים חיצוניים

• תרגילים (עם פתרונות מלאים) בחישוב גבולות באמצעות כלל הסנדוויץ' (מומלץ להתעלם משאלות 9-10 בשלב הזה)