חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/נספח

הוכחת הטענה: $\mathbb{Q}$ הינה קבוצה בת מניה

כפי שאמרנו בפרק זה, על מנת להוכיח את הטענה עלינו למצוא לקבוצה $\mathbb{Q}$ סידור לפי סדר מסויים.
הוכחה: נראה עבור רציונלים חיוביים, ואז נוכל, לפי אותו הסדר, לסדר גם את השליליים (בדיוק כמו שעשינו עם $\mathbb{Z}$).
נסדר את המספרים הרציונלים בתוך טבלה גדולה בסדר הבא:
אפשרות לסידור המספרים הרציונלים בטבלה, לפי סדר מסויים
נסמן כעת מסלול בעזרת חיצים, באופן הבא:
זהו הסדר שבו אנו בוחרים ללכת
נלך כעת במסלול המסומן באמצעות החצים, ואז נוכל למנות אותם (כלומר: להגיד מי ראשון, מי שני וכולי). ▪

הוכחת הטענה: $ℝ$ אינה קבוצה בת מניה

הוכחה: מספיק שנוכיח עבור קטע קטן מ- $ℝ$ (שהרי אם קטע מקבוצה מסויימת אינו בר מניה, ודאי שהקבוצה כולה אינה כזו!). לכן, נוכיח רק עבור הקטע $(0,1)$:
נניח בשלילה ש- $ℝ$ הינו בר-מניה. כלומר, נוכל לסדר את האיברים בשורה: $a^1,a^2,a^3\cdots$ (כאשר המספרים $1,2,3$ אינם מציינים חזקה, אלא את מיקום המספר בשורה). ונוכיח שקיים מספר אחד לפחות בקטע $(0,1)$ שאינו ברשימה. נרשום כל אחד מהמספרים שברשימה $a^i$ בצורה עשרונית: (המספרים שברשימה מסמלים את הספרות $0-9$):

$a^1=0.b_1^1{b}_2^1{b}_3^1{b}_4^1{b}_5^1{b}_6^1{b}_7^1\cdots$

$a^2=0.b_1^2{b}_2^2{b}_3^2{b}_4^2{b}_5^2{b}_6^2{b}_7^2\cdots$

$a^3=0.b_1^3{b}_2^3{b}_3^3{b}_4^3{b}_5^3{b}_6^3{b}_7^3\cdots$

נבנה כעת את המספר $c$ באופן הבא: $c=c_1{c}_2{c}_3{c}_4{c}_5{c}_6{c}_7\cdots$, כאשר נגדיר: $c_i=\{\begin{array}{cc}5& b_i^i\ne 5\\ 3& b_i^i=5\end{array}$ . כלומר, המספר החדש $c$ יהיה תמיד שונה בספרה אחת לפחות מכל מספר שברשימה (הוא יהיה שונה מהאיבר ה- $i$ במקום ה- $i$) $c\Leftarrow$ אינו מופיע ברשימה $\Leftarrow$ הקטע $(0,1)$ אינו בר מניה.
וכאמור למעלה: $(0,1)\in ℝ$ ואינו בר מניה $ℝ\Leftarrow$ כולו אינו בר-מניה.
▪ הערות:

• שיטה זו (בה הוכחנו ש- $ℝ$ אינו בן-מניה) נקראת שיטת האלכסון של קנטור, ע"ש קנטור ממציא השיטה ומשום שבשיטה זו אנו יוצרים איבר חדש, השונה מכל האיברים הקיימים, הנוצר באלכסון.
• אנחנו מתבססים ללא הוכחה על העובדה שכל מספר ממשי ניתן להצגה לכל היותר בשתי צורות כפיתוח עשרוני, והמספרים היחידים שניתנים להצגה כפולה שכזו הם מספרים שנגמרים ב-$999\dots$ בהצגה אחת וב-$000\cdots$ בשנייה. בבירור המספר שבנינו אינו כזה, ולכן אין חשש שבנינו את אחד מהמספרים שכן הופיעו ברשימה בצורה שלו שלא הופיעה ברשימה.
• עוד על קבוצות בנות-מניה ושאינן בנות מניה, על שיטת האלכסון של קנטור ועוד - בקורס תורת הקבוצות.

בחזרה לקורס לחצו כאן.