מבוא

בפרק זה נגדיר את קבוצת המספרים הממשיים. נראה בעתיד כי קבוצת המספרים הממשיים היא שדה.

שדה

$ℚ = {\frac{m}{n} ∣ m \in ℤ, n \in ℕ}$ - קבוצת המספרים הרציונליים היא שדה מפני שמקיימת את כל תכונות השדה.
$ℂ = {a + b i ∣ a, b \in ℝ}$ - קבוצת המספרים המרוכבים היא שדה.
$F_{2} = (0, 1)$
$ℝ$

בחלק זה נוכיח הוכחות טריווליות. עיקר החשיבות היא להבין כיצד יש לגשת ולפתור תרגילים מסוג זה.

$ℚ [\sqrt{5}] = {a + b \sqrt{5} | a, b \in ℚ}$ הוא שדה ביחס לחיבור ולכפל הרגילים.

לכל $p \in ℕ$ ראשוני, $ℤ_{p} = {x \in ℤ | 0 \leq x < p}$ שדה ביחס לחיבור $a \oplus b = (a + b) (\mod p)$ ולכפל $a \otimes b = a b (\mod p)$

יהי $𝔽$ שדה, ו- $ℍ \subseteq 𝔽$ תת-קבוצה שלו.

אם $ℍ$ שדה ביחס לפעולות המוגדרות ב- $𝔽$ , אזי אומרים ש- $ℍ$ תת-שדה של $𝔽$