מבנים אלגבריים/הקדמה/תמורות

תבנית:מבנים אלגבריים הפירוש המילולי של המילה "תמורה" הוא שינוי. אכן, לאחר קריאת ההגדרה, יוכל הקורא להווכח בקלות בדמיון הרב שיש בין ההגדרה המילולית להגדרה המתמטית ואולי אף יוכל לדמיין לעצמו את העניין הרב שמצאו (ועדיין מוצאים) המתמטיקאים (ואלה המתמחים באלגברה בפרט) במושג התמורה.

אין ספק שהמושג של תמורה עיקרי באלגברה ובאלגברה ליניארית, ובלעדיו אין הלימוד של מבנים אלגברים שלם, שכן, משפטים רבים נסתמכים על ידע בתמורות ואפילו מראים שישנן "צורות קנוניות" של חבורות בדמות חבורת תמורות, ועל כן תרומתן רבה.

הגדרות בסיסיות

נתחיל בהגדרה של תמורה על קבוצה כללית כלשהי ונמשיך משם:

כמובן שקל לראות שעבור כל קבוצה בהכרח קיימת העתקה חח"ע ועל ממנה לעצמה, והיא העתקת הזהות. בפרק זה נסמן את העתקת הזהות בתור $id$.

באופן טבעי נגדיר הרכבה של תמורות כך: תבנית:מבנה תבנית

הקורא ימצא שאין זה קשה להוכיח שהרכבה של תמורות היא תמורה בעצמה. כמו כן, הטענה הבאה היא טריוואלית: תבנית:טענה

הגדרה חשובה נוספת בהקשר של תמורות: תבנית:מבנה תבנית

תמורות של קבוצה סופית

לפני שנתחיל להתעסק בנושא העיקרי של פרק זה, נזדקק לעוד הגדרה קטנה: תבנית:מבנה תבנית

הגדרה

חשוב לציין, אמנם הבטחנו שנגדיר תמורה מעל קבוצה סופית כלשהי, אבל אין בכך צורך, שכן כל קבוצה סופית שקולה במובן של קרדינלים לאיזושהי קבוצה $[n]$ (עד כדי שינוי שמות האיברים וסידורם).

דוגמאות

1. תמורת הזהות $\mathrm{\forall }i\in [n]id(i)=i$
2. התמורה $\sigma :[3]\to [3]$ המוגדרת ע"י $\sigma (1)=2;\sigma (2)=3;\sigma (3)=1$
3. התמורה $\sigma :[3]\to [3]$ המוגדרת ע"י $\sigma (1)=3;\sigma (2)=2;\sigma (3)=1$

סימון מטריצאלי

כפי שניתן לראות, סימון של תמורה ספציפית יכול להעשות די מסורבל בקבוצות סופיות. על כן הומצא הסימון המטריצאלי לתמורות.

דוגמאות

• תמורת הזהות:

$id=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ 1& 2& \cdots & n\end{array}\right)$

• התמורה מדוגמה 2 לעיל:

$\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$

• התמורה מדוגמה 3 לעיל:

$\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$