משוואות דיפרנציאליות חלקיות/מיון משוואות לינאריות מסדר שני בשני משתנים

הצורה הכללית של מד"ח לינארית מסדר שני בשני משתנים היא:

$a(x,y)u_{xx}+2b(x,y)u_{xy}+c(x,y)u_{yy}+g(x,y,u,u_x,u_y)=0$

כאשר הפונקציה הנעלמת היא u.

בהמשך נראה כי סימנו של הביטוי $b^2-ac$ מלמד על תכונות ייחודיות של הפתרון, כמתואר להלן:

• משוואה היפרבולית: $b^2-ac>0$
• משוואה פרבולית: $b^2-ac=0$
• משוואה אליפטית: $b^2-ac<0$

במילים אחרות, סוג המשוואה נקבע אך ורק ע"פ מקדמי הנגזרות הגבוהות.

הצגה קנונית

"הצגה קנונית" היא הצגה נוחה (פשוטה) יותר של המד״ח, שתתאפשר אם נבצע החלפת משתנים מתאימה. תכונת־מפתח של משוואה מסוג זה (לינארית מסדר 2 בשני משתנים) היא שסוגה אינו משתנה במעבר ממערכת קוארדינטות אחת לשניה, ושתמיד ניתן למצוא החלפת משתנים כזו שתביא את המשוואה לצורה הקנונית. באופן כללי, ניתן לסמן החלפת משתנים באמצעות:

$[\xi ,\eta ]=[\xi (x,y),\eta (x,y)]$

כך שבעצם ניתן לכתוב את הפונקציה u כתלות במשתנים החדשים:

$u(x,y)=u[\xi (x,y),\eta (x,y)]$

כעת נרצה לשכתב את הביטוי הכללי של המד״ח על מנת שתהיה כתובה במונחים של ξ ו-η. לצורך כך דרושות לנו נגזרות של x,y,ξ,η שאותן נקבל בעזרת כלל השרשרת: תבנית:תזכורת

$\{\begin{array}{c}{u}_x=u_{\xi }{\xi }_x+u_{\eta }{\eta }_x\\ u_y=u_{\xi }{\xi }_y+u_{\eta }{\eta }_y\\ u_{xx}=u_{\xi \xi }{\xi }_x^2+2u_{\xi \eta }{\xi }_x{\eta }_x+u_{\eta \eta }{\eta }_x^2+u_{\xi }{\xi }_{xx}+u_{\eta }{\eta }_{xx}\\ u_{yy}=u_{\xi \xi }{\xi }_y^2+2u_{\xi \eta }{\xi }_y{\eta }_y+u_{\eta \eta }{\eta }_y^2+u_{\xi }{\xi }_{yy}+u_{\eta }{\eta }_{yy}\\ u_{xy}=u_{\xi \xi }{\xi }_x{\xi }_y+u_{\xi \eta }({\xi }_x{\eta }_y+{\xi }_y{\eta }_x)+u_{\eta \eta }{\eta }_x{\eta }_y+u_{\xi }{\xi }_{xy}+u_{\eta }{\eta }_{xy}\end{array}$

כעת נציב את הביטויים שקבלנו לתוך המד״ח:

$\begin{array}{cc}a(x,y)[u_{\xi \xi }{\xi }_x^2+2u_{\xi \eta }{\xi }_x{\eta }_x+u_{\eta \eta }{\eta }_x^2+u_{\xi }{\xi }_{xx}+u_{\eta }{\eta }_{xx}]& +\\ 2b(x,y)[u_{\xi \xi }{\xi }_x{\xi }_y+u_{\xi \eta }({\xi }_x{\eta }_y+{\xi }_y{\eta }_x)+u_{\eta \eta }{\eta }_x{\eta }_y+u_{\xi }{\xi }_{xy}+u_{\eta }{\eta }_{xy}]& +\\ c(x,y)[u_{\xi \xi }{\xi }_y^2+2u_{\xi \eta }{\xi }_y{\eta }_y+u_{\eta \eta }{\eta }_y^2+u_{\xi }{\xi }_{yy}+u_{\eta }{\eta }_{yy}]& +g=0\end{array}$

מכיוון שאנו מעוניינים להגיע לביטוי מהצורה

$\tilde{a}{u}_{\xi \xi }+2\tilde{b}{u}_{\xi \eta }+\tilde{c}{u}_{\eta \eta }+\tilde{g}=0$

נצטרך לקבץ את כל האיברים אשר כופלים את הנגזרות של u מסדר שני ב-ξ ו-η:

$\{\begin{array}{ccc}\tilde{a}& =& a{\xi }_x^2+2b{\xi }_x{\xi }_y+c{\xi }_y^2\\ \tilde{b}& =& a{\xi }_x{\eta }_x+b({\xi }_x{\eta }_y+{\xi }_y{\eta }_x)+c{\xi }_y{\eta }_y\\ \tilde{c}& =& a{\eta }_x^2+2b{\eta }_x{\eta }_y+c{\eta }_y^2\\ \tilde{g}& =& u_{\xi }(a{\xi }_{xx}+2b{\xi }_{xy}+c{\xi }_{yy}+d{\xi }_x+e{\xi }_y)+\\ & +& u_{\eta }(a{\eta }_{xx}+2b{\eta }_{xy}+c{\eta }_{yy}+d{\eta }_x+e{\eta }_y)+\\ & +& g\end{array}$

אם כן, קבלנו את סט המשוואות המלא שבעזרתו ניתן לשכתב את המד״ח עבור כל החלפת משתנים שנרצה.

למעשה, לא נוכל להשתמש בכל החלפת משתנים שנרצה, אלא רק בכאלו שהן הפיכות. כזכור מחדו״א, על מנת שטרנספורמציה תהיה הפיכה, היעקוביאן שלה מוכרח להיות שונה מאפס:

$J=\frac{\partial (\xi ,\eta )}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}{\xi }_x& {\xi }_y\\ {\eta }_x& {\eta }_y\end{array}\right|={\xi }_x{\eta }_y-{\xi }_y{\eta }_x\ne 0$

כך שהטרנספורמציה לעיל קיימת בכל תחום שבו $J\ne 0$.

ניתן להראות (אם כי לא נתעכב על כך כעת) כי

${\tilde{b}}^2-\tilde{a}\tilde{c}=(b^2-ac)J^2$

ובפרט, שהסימן של $b^2-ac$ לא משתנה במעבר לקוארדינטות החדשות, כך שהסיווג למשוואות פרבוליות, היפרבוליות ואליפטיות לא ישתנה עקב החלפת המשתנים.

נתפנה כעת לעסוק בתכונות האופייניות לכל אחת מסוגי המשוואות.

משוואה היפרבולית

כזכור, המניע הראשוני היה לפשט את צורת המד״ח.

צורה קנונית

נרצה להגיע לצורה הכי פשוטה שעדיין תקיים ${\tilde{b}}^2-\tilde{a}\tilde{c}>0$. לכן נבחר שהצורה הקנונית של משוואה היפרבולית תהיה:

$\{\begin{array}{c}\tilde{a}=\tilde{c}=0,\tilde{b}=\frac{1}{2}\\ u_{\xi \eta }+g=0\end{array}$

נפתור את המשוואה $\tilde{a}=0$ (המשוואה עבור $\tilde{c}=0$ היא זהה):

$a{\xi }_x^2+2b{\xi }_x{\xi }_y+c{\xi }_y^2=0$

נחלק ב-ξ_y² על מנת לקבל משוואה בנעלם אחד:

$a{\left(\frac{{\xi }_x}{{\xi }_y}\right)}^2+2b\frac{{\xi }_x}{{\xi }_y}+c=0$ 

תבנית:תזכורת הביטוי האחרון הוא משוואה ריבועית ב-$\frac{{\xi }_x}{{\xi }_y}$ שפתרונה:

$\frac{{\xi }_x}{{\xi }_y}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-ac}}{a}$

אבל גם ניתן לכתוב:

$\frac{{\xi }_x}{{\xi }_y}=\frac{\frac{\partial \xi }{\partial x}}{\frac{\partial \xi }{\partial y}}=\frac{\partial y}{\partial x}$

וכך מתקבלות שתי מד"ר המקשרות בין y ל-x:

${\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-ac}}{a}$

הפתרונות $y_1(x),y_2(x)$ נקראים הקווים האופיניים של הבעיה. אם כן, בבעיה היפרבולית יש שתי משפחות של קווים אופיניים.

באופן כללי, ניתן לכתוב את הפתרון לעיל בצורה סתומה:

$\{\begin{array}{c}{\psi }_1(x,y)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.}=\xi (x,y)\\ {\psi }_2(x,y)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.}=\eta (x,y)\end{array}$

דוגמאות

משוואת הגלים החד-מימדית

משוואת הגלים היא (כאן t הוא "בתפקיד" x, ו-x הוא "בתפקיד" y):

$u_{tt}-c^2{u}_{xx}=0$

נשתמש בקשר שקבלנו לעיל עבור הקווים האופייניים:

${\left(\frac{dx}{dt}\right)}_{1,2}=\pm c\Rightarrow {\psi }_{1,2}=x\pm ct=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.}$

נבחר:

$\xi (t,x)=x+ct,\eta (t,x)=x-ct$

ונציב חזרה למשוואת הגלים:

$\{\begin{array}{c}{u}_{tt}=c^2(u_{\xi \xi }-2u_{\xi \eta }+u_{\eta \eta })\\ u_{xx}=u_{\xi \xi }+2u_{\xi \eta }+u_{\eta \eta }\end{array}\Rightarrow u_{tt}-c^2{u}_{xx}=-4c^2{u}_{\xi \eta }=0$

או בקיצור:

$u_{\xi \eta }=0$

היתרון בהחלפת המשתנים כעת ברור: ניתן לפתור מיידית באופן אנליטי ע"י אינטגרציה פעם לפי ξ ופעם לפי η:

$u(\xi ,\eta )=F(\xi )+G(\eta )$

כאשר F,G הן פונקציות שרירותיות כלשהן. נחזור חזרה למשתנים המקוריים ונקבל:

$u=F(x+ct)+G(x-ct)$

לצורך המחשה, u יכולה להיות לדוגמה הפונקציה:

$u(t,x)=3\sin \left(\frac{1}{x+ct}\right)+\pi \exp (x-ct)$

משוואה פרבולית

צורה קנונית

נרצה להגיע לצורה הכי פשוטה שעדיין שתקיים ${\tilde{b}}^2-\tilde{a}\tilde{c}=0$. לכן נבחר שהצורה הקנונית של משוואה פרבולית תהיה:

$\{\begin{array}{c}\tilde{a}=1,\tilde{b}=\tilde{c}=0\\ u_{\xi \xi }+g=0\end{array}$

דרך פתרון המשוואה $\tilde{c}=0$ זהה לדרך פתרון המשוואה $\tilde{c}=0$ אותה ראינו קודם. נקבל שוב את הקשר בין x,y:

${\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-ac}}{a}$

אך מכיוון ש-$b^2-ac=0$, הטרנספורמציה מתקבלת מתוך הקשר היחיד

$\frac{dy}{dx}=-\frac{b}{a}$

ומתוך בחירת פונקציה שרירותית אחת נוספת כך שהיעקוביאן לא יתאפס (בדרך כלל בוחרים את הפונקציה הנוספת להיות פשוט x). אם כן, בבעיה פרבולית יש משפחה אחת בלבד של קווים אופיניים.

דוגמאות

משוואת החום החד-מימדית

משוואת החום היא (כאן t הוא "בתפקיד" x, ו-x הוא "בתפקיד" y):

$u_t-k{u}_{xx}=0$

נשתמש בקשר שקבלנו לעיל עבור הקווים האופייניים:

${\left(\frac{dx}{dt}\right)}_{1,2}=-\frac{b}{a}=0\Rightarrow {\psi }_1=x+c,{\psi }_2=t$

כאשר ψ₂ נבחר שרירותית מטעמי נוחות ופשטות. נבחר:

$\xi (t,x)=x-c,\eta (t,x)=t$

ונציב חזרה למשוואת החום:

$\{\begin{array}{c}{u}_t=u_{\eta }\\ u_{xx}=u_{\xi \xi }\end{array}\Rightarrow u_{tt}-c^2{u}_{xx}=u_{\eta }-k{u}_{\xi \xi }=0$

קיבלנו חזרה את אותה המשוואה, כלומר משוואת החום היא כבר בצורתה הקנונית, והחלפת המשתנים במקרה זה לא עוזרת לפתרון. יכולנו לחזות זאת מראש מכיוון שאם נתבונן בצורת המשוואה ניווכח כי היא מורכבת מנגזרת שניה של הפונקציה המעורבת ומאיבר נוסף אשר נבלע ב-g של ההצגה הקנונית.

משוואה אליפטית

צורה קנונית

נרצה להגיע לצורה הכי פשוטה שעדיין שתקיים ${\tilde{b}}^2-\tilde{a}\tilde{c}<0$. לכן נבחר שהצורה הקנונית של משוואה אליפטית תהיה:

$\{\begin{array}{c}\tilde{a}=\tilde{c}=1,\tilde{b}=0\\ u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }+g=0\end{array}$

זוג המשוואות $\tilde{a}=\tilde{c}=1$ יתן:

$\{\begin{array}{c}a{\xi }_x^2+2b{\xi }_x{\xi }_y+c{\xi }_y^2=1\\ a{\eta }_x^2+2b{\eta }_x{\eta }_y+c{\eta }_y^2=1\end{array}\Rightarrow a({\xi }_x^2-{\eta }_x^2)+2b({\xi }_x{\xi }_y-{\eta }_x{\eta }_y)+c({\xi }_y^2-{\eta }_y^2)=0$

ומהמשוואה $\tilde{b}=0$ נקבל:

$a{\xi }_x{\eta }_x+b({\xi }_x{\eta }_y+{\xi }_y{\eta }_x)+c{\xi }_y{\eta }_y$

חיפשו ומצאו שאם נגדיר משתנה (מרוכב) חדש $\varphi =\xi +i\eta$ אז המשוואה

$a{\varphi }_x^2+2b{\varphi }_x{\varphi }_y+c{\varphi }_y^2=0$

כוללת בתוכה את שתי המשוואות האחרונות: השוואת החלק הממשי של אגף שמאל לאפס יתן את המשוואה הראשונה, והשוואת החלק המדומה של אגף שמאל יתן את המשוואה השניה. שימו לב כי זו משוואה מאותה צורה כמו במשוואות ההיפרבולית והפרבולית.

נמשיך מכאן במתודולוגיה המוכרת:

$a{\left(\frac{{\varphi }_x}{{\varphi }_y}\right)}^2+2b\frac{{\varphi }_x}{{\varphi }_y}+c=0$

פתרונות המשוואה הריבועית יתנו את הטרנספורמציה המבוקשת:

${\left(\frac{{\varphi }_x}{{\varphi }_y}\right)}_{1,2}={\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-ac}}{a}$

מכיוון שבמשוואות אליפטיות $b^2-ac<0$ נוכל לכתוב:

${\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{ac-b^2}}{a}$

באופן כללי, ניתן לכתוב את הפתרון לעיל בצורה סתומה:

$\{\begin{array}{c}{\psi }_1(x,y)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.}=\xi (x,y)\\ {\psi }_2(x,y)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.}=\eta (x,y)\end{array}$

שימו לב כי ψ₁, ψ₂ הם צמודים קומפלקסיים (בגלל ה-$\pm i$ במונה). לכן, על מנת לעבוד עם משתנים ממשים, ניתן להגדיר טרנספורמציה נוספת, שתתבסס על העובדה שהם צמודים:

$\{\begin{array}{c}\tilde{\xi }=\frac{1}{2}(\xi +\eta )\\ \tilde{\eta }=\frac{1}{2i}(\xi -\eta )\end{array}$

דוגמאות

משוואת לפלס דו-מימדית

$u_{xx}+u_{yy}=0$

משוואה זו כבר נמצאת בצורתה הקנונית!

סיכום

סוג	מקדמים מקוריים	מקדמים חדשים	צורה קנונית	דוגמה
היפרבולית	$b^2-ac>0$	$\tilde{a}=\tilde{c}=0,\tilde{b}=\frac{1}{2}$	$v_{\xi \eta }+g=0$	גלים חד-מימדית
פרבולית	$b^2-ac=0$	$\tilde{a}=1,\tilde{b}=\tilde{c}=0$	$v_{\xi \xi }+g=0$	חום חד-מימדית
אליפטית	$b^2-ac<0$	$\tilde{a}=\tilde{c}=1,\tilde{b}=0$	$v_{\xi \xi }+v_{\eta \eta }+g=0$	לפלס דו-מימדית