מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/משולשים/קטע אמצעים במשולש

ניעזר בציור שמשמאל, בו DE קטע אמצעים ב-$\mathrm{△}ABC$. כלומר, נתון AD=DB ו-AE=EC

צריך להוכיח $DE=\frac{BC}{2}$ ו-$DE\Vert BC$

בניית עזר: נסמן נקודה K, כך ש-E אמצע DK.

נמשיך את DE עד K, ונשרטט את CK.

לפי הנתון, AE=EC, ולפי בניית העזר, DE=EK.

גם $\mathrm{\angle }AED=\mathrm{\angle }KEC$ (כי הן זוויות קדקודיות), ולכן, על-פי צלע-זווית-צלע, $\mathrm{△}AED\cong \mathrm{△}CEK$

לכן, KC=AD, ומכיוון ש-AD=DB, נקבל BD=CK.

מהחפיפה, נקבל גם $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }ECK$, ולכן $AB\Vert KC$

כלומר, הצלעות BD ו-KC מקבילות ושוות, ולכן DBCK מקבילית.

לכן, נקבל $DE\Vert BC$ וגם DK=BC.

על-פי בניית העזר, $DE=\frac{DK}{2}$, ולכן, $DE=\frac{BC}{2}$