מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/אליפסה/מיתר וקוטר באליפסה

קוטר - מיתר העובר דרך מרכז האליפסה.

מיתר - קטע המחבר שתי נקודות על האליפסה.

מכפלת שיפוע המיתר באליפסה $b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2$ עם הקוטר שחוצה אותו היא $m_1\cdot m_2=-\frac{b^2}{a^2}$

הוכחת מכפלת שיפוע מיתר

נסמן את נקודות החיתוך של המיתר עם האליפסה $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ בנקודות $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ .

נמצא את נקודת האמצע של המיתר, דרכו הקוטר עובר, באמצעות שיעורי אמצע של קטע: $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$ .

נמצא את שיפוע המיתר על-פי משוואת השיפוע: $m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .

נמצא את שיפוע הקוטר עובר דרך ראשית הצירים (הגדרת הקוטר) ונקודת אמצע המיתר:

$m_2=\frac{\frac{y_1+y_2}{2}-0}{\frac{x_1+x_2}{2}-0}=\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}$ .

נמצא את מכפלת השיפועים ונקבל:

$m_1\cdot m_2=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot \frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}=\frac{(y_2{)}^2-(y_1{)}^2}{(x_2{)}^2-(x_1{)}^2}$

מאחר ונקודות החיתוך של המיתר נמצאות על האליפסה, נוכל למצוא את ערך ה- $y$ שלהן:

$(y_1{)}^2=\frac{b^2}{a^2}[a^2-(x_1{)}^2]$

$(y_2{)}^2=\frac{b^2}{a^2}[a^2-(x_2{)}^2]$

נציב את הערכים במכפלת השיפועים ונקבל:

$m_1\cdot m_2=\frac{\frac{b^2}{a^2}[a^2-(x_1{)}^2]-\frac{b^2}{a^2}[a^2-(x_2{)}^2]}{(x_2{)}^2-(x_1{)}^2}=\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{a^2-(x_2{)}^2-a^2+(x_1{)}^2}{(x_2{)}^2-(x_1{)}^2}=-\frac{b^2}{a^2}$