מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/מקומות גיאומטריים

המקום הגיאומטרי הוא אוסף של כל הנקודות להן תכונה מסוימת. כלומר, כל נקודה הנמצאת על המקום הגיאומטרי מקיימת את התכונה המסוימת, ולהיפך-כל נקודה המקיימת את התכונה המסוימת נמצאת על המקום הגיאומטרי.

דוגמה 1:

מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המרוחקות מרחק שווה מהנקודה (3,5) ומנקודה (1-,3)?

נסמן ב-(x,y) נקודה כלשהי הנמצאת על המקום הגיאומטרי המבוקש. ולכן:$\sqrt{(3-x{)}^2+(5-y{)}^2}=\sqrt{(3-x{)}^2+(-1-y{)}^2}$

$(3-x{)}^2+(5-y{)}^2=(3-x{)}^2+(-1-y{)}^2$

$25-10y+y^2=1+2y+y^2$

$12y=24$ אז משוואת המקום הגיאומטרי היא קו ישר המקביל לציר ה-X שמשוואתו: y=2.

דוגמה 2:

מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהישר $y=3$ שווה לאורך המשיק מהן למעגל $x^2+y^2-2y+1=4$.

נמצא את מרכז המעגל ורדיוסו:

$x^2+y^2-2y+1=4$

$\Downarrow$

$x^2+(y-1{)}^2=2^2$

ולכן המרכז הוא $(0,1)$ והרדיוס הוא 2.

לפי זה המרחק של נקודה כלשהי ממרכז המעגל הוא $d=\sqrt{x^2+y^2-2y+1}$ ואורך המשיק למעגל הוא $\ell =\sqrt{d^2-R^2}=\sqrt{x^2+y^2-2y+1-4}=\sqrt{x^2+y^2-2y-3}$.

המרחק מהישר הוא: $y-3$

נשווה את המרחקים:

$\sqrt{x^2+y^2-2y-3}=y-3$

נעלה בריבוע:

$x^2+y^2-2y-3=y^2-6y+9$

נעביר אגפים:

$x^2+4y-12=0$

כלומר $y=-\frac{x^2}{4}+3$ וזוהי משוואת פרבולה.