מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/דף נוסחאות

ברשימה זאת מוצגות נוסחאות מענף הטריגונומטריה.

הערה: בנוסחאות אלה הזויות הן בהצגה רדיאנית, כנהוג. על מנת שתוכלו להציב ערכים במעלות, בכל מקום בו רשום $\pi$ , רשמו $180^{\circ }$ .

זהויות יסודיות

${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$

$\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)},x\ne \frac{\pi }{2}$

$\cot (x)=\frac{\cos (x)}{\sin (x)},x\ne 0$

$\tan (x)\cdot \cot (x)=1,x\ne \frac{\pi }{2},0$

$1+{\tan }^2(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)},x\ne \frac{\pi }{2}$

$1+{\cot }^2(x)=\frac{1}{{\sin }^2(x)},x\ne 0$

$\tan (x)=\cot (x)-2\cot (2x),x\ne \frac{\pi }{2},0$

$\sin (\pi -x)=\sin (x)$

$\cos (\pi -x)=-\cos (x)$

$\sin (\frac{\pi }{2}-x)=\cos (x)$

$\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin (x)$

$\cot (\frac{\pi }{2}-x)=\tan (x)$

$\tan (\frac{\pi }{2}-x)=\cot (x)$

זוית שלילית

$\sin (-x)=-\sin (x)$

$\cos (-x)=\cos (x)$

$\tan (-x)=-\tan (x)$

$\cot (-x)=-\cot (x)$

סכום והפרש זויות

$\sin (x\pm y)=\sin (x)\cos (y)\pm \cos (x)\sin (y)$

$\cos (x\pm y)=\cos (x)\cos (y)\mp \sin (x)\sin (y)$

$\tan (x\pm y)=\frac{\tan (x)\pm \tan (y)}{1\mp \tan (x)\tan (y)}$

נוסחאות אלה אפשר להוכיח בעזרת בנייה גאומטרית מתאימה, או בעזרת נוסחת אוילר: $e^{xi}=\cos (x)+\sin (x)i$ (כאשר $i$ היא היחידה המרוכבת) והעובדה ש- $e^{z+w}=e^z\cdot e^w$ לכל שני מספרים מרוכבים $z,w$ (ראה פונקציית האקספוננט).

זוית כפולה

$\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$

$\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)=2{\cos }^2(x)-1=1-2{\sin }^2(x)$

$\tan (2x)=\frac{2\tan (x)}{1-{\tan }^2(x)}$

$\cot (2x)=\frac{{\cot }^2(x)-1}{2\cot (x)}$

מחצית זוית

$\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (x)}{2}}$ או ${\sin }^2(x)=\frac{1-\cos (2x)}{2}$

$\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (x)}{2}}$ או ${\cos }^2(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}$

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (x)}{1+\cos (x)}}$

כאשר סימן השורש נקבע לפי סימנה של הפונקציה שבאגף שמאל ברביע בו נמצאת הזוית $\frac{x}{2}$ .

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}=\frac{1-\cos (x)}{\sin (x)}$

מעבר מסכום/הפרש פונקציות למכפלת פונקציות

$\sin (x)\pm \sin (y)=2\sin \left(\frac{x\pm y}{2}\right)\cos \left(\frac{x\mp y}{2}\right)$

$\cos (x)+\cos (y)=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos (x)-\cos (y)=-2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan (x)\pm \tan (y)=\frac{\sin (x\pm y)}{\cos (x)\cos (y)}$

מעבר ממכפלת פונקציות לסכום/הפרש פונקציות

$\sin (x)\sin (y)=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}$

$\cos (x)\cos (y)=\frac{\cos (x-y)+\cos (x+y)}{2}$

$\sin (x)\cos (y)=\frac{\sin (x+y)+\sin (x-y)}{2}$

זוית משולשת

$\sin (3x)=3\sin (x)-4{\sin }^3(x)$

$\cos (3x)=4{\cos }^3(x)-3\cos (x)$

$\tan (3x)=\frac{3\tan (x)-{\tan }^3(x)}{1-3{\tan }^2(x)}$

קירובים

שימו לב: קירובים אלו טובים אך ורק עבור יצוג ברדיאנים (כי קשרים בין זוית לפונקציה נכונים רק עבור רדיאנים).

• עבור זויות קטנות ($x<<15^{\circ }\approx 0.26\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$) מתקיים:

$\sin (x)\approx \tan (x)\approx x$

וכן, $\arcsin (x)\approx \arctan (x)\approx x$

$\cos (x)\approx 1$

פונקציות מורכבות

• $\cos (\arctan (x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$