פונקציות מרוכבות/מספרים מרוכבים - חזרה

תבנית:פונקציות מרוכבות בסעיף זה נחזור בקצרה על חלק מההגדרות הבסיסיות של המספרים המרוכבים והתכונות שלהם. נזכיר שהמספרים המרוכבים מתקבלים מהוספה לממשיים סימן נוסף $i$ הפותר את המשוואה $i^2=-1$ .

קבוצת המספרים המרוכבים מוגדרת:

$$ℂ=\{a+bi:a,b\in ℝ\}$$

חלק ממשי ומדומה

אם $z=a+bi$ מספר מרוכב, נקרא ל־$a$ החלק הממשי של $z$ ול־$b$ החלק המדומה של $z$ . בסימונים מתמטיים נסמן זאת כך:

$$\begin{array}{c}\text{Re}(z)=a\\ \text{Im}(z)=b\end{array}$$

לכל מספר מרוכב $z=a+bi$ אפשר להתאים את המספר הצמוד לו

$$\overline{z}=a-bi$$

נשים לב שמתקיימות הזהויות הבאות:

$$\begin{array}{c}\text{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}\\ \text{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}\end{array}$$

המישור המרוכב

אפשר לזהות בין נקודות ב־${ℝ}^2$ לבין $ℂ$ על־ידי זיהוי $a+bi$ עם הזוג הסדור $(a,b)$ . נשים לב שההתאמה הנ"ל היא חח"ע ועל. המישור נקרא בהקשר זה המישור המרוכב, או המישור של גאוס.

חיבור וכפל של מספרים מרוכבים

ישנן שתי גישות להגדרת הכפל והחיבור במספרים המרוכבים. הדרך הראשונה היא להתייחס ל־$ℂ$ כקבוצת זוגות סדורים, ולהגדיר את הפעולות הבאות:

$$\begin{array}{c}(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)\\ \\ (a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2)=(a_1{a}_2-b_1{b}_2,a_1{b}_2+a_2{b}_1)\end{array}$$

הקבוצה והפעולות יחדיו מגדירות שדה.

דרך נוספת להגדיר את הפעולות הבינאריות על המספרים המרוכבים היא להגדיר את קבוצת המספרים המרוכבים בתור $ℂ=\{a+bi:a,b\in ℝ\}$ כפי שהוגדרה בתחילת הפרק. ואז, בשימוש באלגברה של מספרים ממשיים:

$$\begin{array}{c}(a_1+b_{1}i)+(a_2+b_{2}i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i\\ \\ (a_1+b_{1}i)(a_2+b_{2}i)=a_1{a}_2+a_1{b}_{2}i+a_2{b}_{1}i+b_1{b}_2{i}^2=a_1{a}_2+a_1{b}_{2}i+a_2{b}_{1}i+b_1{b}_2(-1)=(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i\end{array}$$

ניתן לראות כי ההגדרות שקולות לחלוטין.

היתרון בהגדרת $ℂ$ כשדה, הוא שמתקיים בה המשפט היסודי של האלגברה: לכל פולינום ממעלה $n$ במרוכבים יש בדיוק $n$ שורשים. גרסתו של משפט זה במספרים הממשיים מבטיחה לכל היותר $n$ שורשים.

ערך מוחלט וארגומנט של מספר מרוכב

בהינתן מספר מרוכב $z=x+yi$, הערך המוחלט שלו מוגדר $|z|=\sqrt{z\bar{z}}=\sqrt{x^2+y^2}$. על פי משפט פיתגורס, הערך המוחלט מייצג את המרחק מהאפס, כלומר אם נראה את המספר כנקודה במישור המרוכב, אז הערך המוחלט הוא המרחק מראשית הצירים. הארגומנט המסומן $\arg z$ מוגדר כזווית (ברדיאנים) שהקטע המחבר את z ל0 יוצר עם הכיוון החיובי של ציר הx (ראו איור). אם המספר נמצא ברביע הראשון של המישור, הארגומנט יהיה בין 0 ל$\frac{\pi }{2}$. ברביע השני, הארגומנט יהיה בין $\frac{\pi }{2}$ ל$\pi$. ברביע השלישי והרביעי הארגומנט שלילי בין $-\pi$ ל0. מעט טריגונומטריה תלמד כי מתקיים $\tan \arg z=\frac{y}{x}$ כאשר $x\ne 0$. למרות זאת לא מתקיים $\arg z=\arctan \frac{y}{x}$, שכן פונקציית ארכטנגנס מחזירה תמיד ערכים בין $-\frac{\pi }{2}$ ל$\frac{\pi }{2}$, בניגוד לכך שארגומנט ברביע השלישי הוא בתחום $(\frac{\pi }{2},\pi )$. לכן פונקצית הארגומנט מוגדרת על פי הנוסחה $\arg z==\{\begin{array}{cc}\arctan (\frac{y}{x})& \text{if }x>0\\ \arctan (\frac{y}{x})+\pi & \text{if }x<0\text{ and }y\ge 0\\ \arctan (\frac{y}{x})-\pi & \text{if }x<0\text{ and }y<0\\ \frac{\pi }{2}& \text{if }x=0\text{ and }y>0\\ -\frac{\pi }{2}& \text{if }x=0\text{ and }y<0\end{array}$ אם ידועים הערך המוחלט $r$ והארגומנט $\theta$ של מספר מרוכב, מתקיים $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$, כלומר $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$. הביטוי $\cos \theta +i\sin \theta$ מסומן בקיצור $\mathrm{cis}\theta$.

אם כן, כל מספר מרוכב $z\ne 0$ ניתן להצגה בצורה $z=r\mathrm{cis}\theta$. נשים לב כי הצגה זו אינה יחידה: מהמחזוריות של הפונקציות הטריגונומטריות נקבל $\mathrm{cis}(\theta +2k\pi )=\mathrm{cis}\theta$ לכל $k\in \mathbb{Z}$. נעדיף תמיד את ההצגה שבה $-\pi <\theta \le \pi$.

הצגת מספרים מרוכבים באמצעות ערך מוחלט וארגומנט מקילה על חישובים של כפל וחילוק מספרים מרוכבים: נשים לב כי מתקיים $\mathrm{cis}{\theta }_1\cdot \mathrm{cis}{\theta }_2=(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)=\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2\cos {\theta }_1-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2=(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)=(\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2)+i(\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2+\sin {\theta }_2\cos {\theta }_1)$. מזהויות טריגונומטריות נקבל $\mathrm{cis}{\theta }_1\cdot \mathrm{cis}{\theta }_2=\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)=\mathrm{cis}({\theta }_1+{\theta }_2)$. לכן כפל מספרים מרוכבים יכול להיעשות באמצעות $(r_1\mathrm{cis}{\theta }_1)\cdot (r_2\mathrm{cis}{\theta }_2)=r_1{r}_2\mathrm{cis}({\theta }_1+{\theta }_2)$. באינדוקציה ניתן לקבל את נוסחת דה-מואבר: $(r\mathrm{cis}\theta {)}^n=r^n\mathrm{cis}n\theta$. חילוק ניתן לבצע על פי ההבחנה כי $\mathrm{cis}(-\theta )\cdot \mathrm{cis}\theta =\mathrm{cis}0=1$, לכן $\frac{1}{r\mathrm{cis}\theta }=r^{-1}\mathrm{cis}(-\theta )$, וחילוק הופך להיות $\frac{r_1\mathrm{cis}{\theta }_1}{r_2\mathrm{cis}{\theta }_2}=r_1\mathrm{cis}{\theta }_1\cdot (r_2\mathrm{cis}{\theta }_2{)}^{-1}=r_1{r}_2^{-1}\mathrm{cis}{\theta }_1\mathrm{cis}(-{\theta }_2)=\frac{r_1}{r_2}\mathrm{cis}({\theta }_1-{\theta }_2)$.

פתרון משוואות מרוכבות

המשוואה $a+bi=c+di$ מבטיחה את השוויונות $a=c,b=d$. נראה זאת: נניח בשלילה $b\ne d$. אז מתקיים $bi-di=c-a$, כלומר $i=\frac{c-a}{b-d}$ (החלוקה ב$b-d$ מותרת כי הנחנו $b\ne d$ ולכן $b-d\ne 0$), ומסגירות הממשיים לפעולות החיסור והחילוק נקבל $i\in ℝ$. סתירה. לכן $b\ne d$, כלומר $a+bi=c+bi$, ולכן $a=c$.

אם כן, פתרון משוואה מרוכבת הופך להיות משימה של פתרון מערכת משוואות ממשיות בשני נעלמים. למשל, ננסה למצוא שורש ל$i$, כלומר נכתוב $z^2=i$. אם נסמן $z=x+yi$ נקבל $(x+yi{)}^2=i$, ולכן $x^2+2xyi-y^2=i$. נארגן את האגפים ונקבל $(x^2-y^2)+2xyi=0+i$. נשווה את החלקים הממשיים והמדומים ונקבל $(1)x^2-y^2=0,(2)2xy=1$. ממשואה $(2)$ נקבל $y=\frac{1}{2x}$, ומהצבה במשוואה $(1)$ נקבל $x^2={\left(\frac{1}{2x}\right)}^2$, כלומר $x^4=\frac{1}{4}$, ולכן $x^2=\pm \frac{1}{2}$. נשים לב ש$x$ צריך להיות ממשי, לכן לא יתכן $x^2=-\frac{1}{2}$, לכן $x^2=\frac{1}{2}$, כלומר $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. נחזיר להציב במשוואה $(2)$ ונקבל $y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$, לכן $z=\pm (\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)=\pm \frac{1+i}{\sqrt{2}}$, כלומר $\sqrt{i}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$.

אם המשוואה נתונה בהצגה של ערך מוחלט וארגומנט, כלומר $r_1\mathrm{cis}{\theta }_1=r_2\mathrm{cis}{\theta }_2$, אז מכך ש$r_1,r_2$ הם הערך המוחלט של אותו מספר מרוכב, נקבל $r_1=r_2$. לכן $\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1=\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2$. לכן $\cos {\theta }_1=\cos {\theta }_2$, כלומר ${\theta }_1=\pm {\theta }_2+2k\pi$, וכן $\sin {\theta }_1=\sin {\theta }_2$, לכן ${\theta }_1\in \{{\theta }_2+2k\pi ,\pi -{\theta }_2+2k\pi \}$. משני השוויונות נקבל ${\theta }_1={\theta }_2+2k\pi$.

שורשי היחידה

בהינתן מספר טבעי $n\in \mathbb{N}$, נמצא את פתרונות המשוואה $z^n=1$. נרשום לשם כך $z=r\mathrm{cis}\theta$. באמצעות נוסחת דה-מואבר נקבל $r^n\mathrm{cis}n\theta =1\mathrm{cis}0$. לכן $r^n=1$, כלומר $r=1$ (על פי הגדרת הערך המוחלט הוא תמיד מספר ממשי חיובי), וכן $n\theta =0+2k\pi =2k\pi$ עבור $k\in \mathbb{Z}$ כלשהו. לכן $\theta =\frac{2k\pi }{n}$. נשים לב שאם $0\le k<n$ ולכל $m\in \mathbb{Z}$ מתקיים $\mathrm{cis}\left(\frac{2(k+mn)\pi }{n}\right)=\mathrm{cis}(\frac{2k\pi }{n}+2m\pi )=\mathrm{cis}\left(\frac{2k\pi }{n}\right)$, לכן מספיק לבחור $m\in \mathbb{Z}$ אחד כדי לייצג כל פתרון. בחירה טבעית היא $m=0$, ולכן הצגת הפתרונות תיעשה בצורה $z=\mathrm{cis}\left(\frac{2k\pi }{n}\right)(0\le k<n)$ (שימו לב שכל פתרון אחר שווה ערך לאחד מהפתרונות האלו).