תורת הבקרה/פונקצית הלם

פונקצית הלם

פונקצית מדרגה

פונקצית ההלם (או: פונקצית הדלתא של דיראק) היא הנגזרת של פונקצית המדרגה והיא שווה לאפס פרט לנקודה יחידה t₀. תאורטית, ערך הפונקציה הוא אינסוף, והשטח מתחת לגרף הוא 1. מעשית, לא ניתן לקבל פונקצית הלם (כפי שלא ניתן לקבל שינוי מיידי כדוגמת פונקצית המדרגה).

$\delta (t-t_0)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\mathrm{\Delta }t},& t_0<t<t_0+\mathrm{\Delta }t\\ 0,& \text{else}\end{array}$

תכונות

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (t-t_0)dt=1$
• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\delta (t-t_0)dt=f(t_0)$
• $ℒ[\delta (t-t_0)](s)=\underset{t=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (t-t_0)e^{-st}dt=e^{-s{t}_0}\Rightarrow ℒ[\delta (t)]=1$