תורת ההסתברות/פרק 4

משל הקופים והאינטרנט

יושב קוף מול מקלדת ומקליד בכל שנייה תו אקראי. ההסתברות אחידה. ההקלדות בת"ל זו בזו. הקוף ממשיך לנצח.

1. האם מתישהו הקוף הקליד את פצפונת ואנטון?
2. האם מתישהו הקוף הקליד את הפיתוח העשרוני של $\mathrm{\Pi }$ ?

מכפלה של מרחבי הסתברות

יהו $({\mathrm{\Omega }}_1,F_1,P_1)$, $({\mathrm{\Omega }}_2,F_2,P_2)$ מרחבי הסתברות כלשהם.
נגדיר מרחב הסתברות חדש: $({\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2,F_1\otimes F_2,P_1\otimes P_2)$
נגדיר את F להיות הסיגמא-אלגברה המינימלית המכילה את F1 ו F2:
$F_1\otimes F_2=\sigma (\{A_1\times A_2:A_1\in F_1,A_2\in F_2\})$

הגדרה: עבור $A_1\in F_1,A_2\in F_2$ מוגדר: $(P_1\otimes P_2)(A_1\times A_2):=P_1(A_1)P_2(A_2)$

משפט: קיימת הרחבה יחידה של $P_1\otimes P_2$ לפונקציית הסתברות על $F_1\otimes F_2$

מכפלה בת מניה של מרחבי הסתברות

כך ניתן להגדיר מכפלה לכל אוסף בן מניה של מרחבי הסתברות.

יהיו $({\mathrm{\Omega }}_1,F_1,P_1),({\mathrm{\Omega }}_2,F_2,P_2),...$ אוסף בן מניה של מרחבי הסתברות.
נגדיר את מכפלתם $(\mathrm{\Omega },F,P)$ כך:
$\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2\times {\mathrm{\Omega }}_3\times ...=\{collectionofsequencesw:w_n\in {\mathrm{\Omega }}_n\}$

הגדרה: מאורע צילינדר הוא $A\subset \mathrm{\Sigma }$ כך שקיימים $A_1\in F_1,>A_2\in F_2,>A_3\in F_3...,>A_n\in F_n$
כך ש: $A=A_1\times A_2\times A_3\times ...\times A_n\times {\mathrm{\Sigma }}_{n+1}\times {\mathrm{\Sigma }}_{n+2}\times ...$

F תהיה הסיגמא אלגברה הקטנה ביותר הכוללת את כל מאורעות הצילינדר.

נגדיר את P: אם $A=A_1\times A_2\times A_3\times ...\times A_n\times {\mathrm{\Sigma }}_{n+1}\times {\mathrm{\Sigma }}_{n+2}\times ...$ מאורע צילנדר אזי נגדיר:
$P(A)=P_1(A_1)P_2(A_2)P_3(A_3)...P_n(A_n)$

משפט: קיימת הרחבה יחידה של P על F. זהו משפט מתורת המידה.