תורת הקבוצות/סודרים

תבנית:תורת הקבוצות למספרים הטבעיים יש שני שימושים נחמדים: הראשון הוא במונחים של עוצמה, כלומר "באלף בית העברי יש עשרים ושתים אותיות", שאותו הכללנו לאינסוף במסגרת העוצמות. השני הוא במונחים של סדר, כלומר "ג' היא האות השלישית באלף בית העברי". את שימוש זה נכליל לאינסוף כאן, כשנגדיר את הסודרים.

הגדרה

נגדיר קודם כל מושג עזר: תבנית:מבנה תבנית כעת נגדיר את הסודרים: תבנית:מבנה תבנית תבנית:משפט תבנית:הוכחה תבנית:משפט תבנית:הוכחה הסודר הראשון והטריוויאלי הוא $\mathrm{\varnothing }$ - הקבוצה הריקה, שכן שתי הטענות מתקיימות לגביה באופן ריק. נהוג לסמן $0=\mathrm{\varnothing }$ (זוהי גם ההגדרה המקובלת של המספרים הטבעיים, כלומר הסודר אפס הוא המספר אפס). על מנת ליצור עוד סודרים נגדיר את פונקציית העוקב: $S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$. תבנית:משפט תבנית:הוכחה נגדיר $1=S(0),2=S(1),...$, כלומר $1=\{0\},2=\{0,1\}$, ובאופן כללי $n=\{0,...,n-1\}$.

קיבלנו אוסף נחמד של סודרים, והוא $\{0,S(0),S(S(0)),...\}=\{0,1,2,...\}=\mathbb{N}$. אלו הם כל הסודרים הסופיים, אך ברצוננו להגדיר גם סודרים אינסופיים. לשם כך נגדיר את אומגה, הסודר האינסופי הראשון: $\omega =\bigcup _{\alpha \in \mathbb{N}}\alpha =0\cup 1\cup 2\cup ...=\{0,1,2,...\}$. כלומר אומגה הוא קבוצת המספרים הטבעיים. כעת נוכיח כי אומגה הוא סודר. לשם כך נוכיח טענה חזקה יותר: תבנית:משפט לפני שנוכיח את המשפט, נקדים מספר למות:

תבנית:הוכחה כעת ניגש להוכיח את משפט 5.3: תבנית:הוכחה

סדר

תבנית:מבנה תבנית שילוב העובדה שסודר הוא קבוצה טרנזיטיבית עם למה 5.4 יתן את המשפט הבא: תבנית:משפט מכאן ואילך נחליף בחופשיות בין הסימונים $<,\in ,\subset$. תבנית:משפט תבנית:הוכחה הוכחת משפט 5.7 הדגימה כמה נוח המעבר החופשי בין $<,\in ,\subset$: בכל סעיף השתמשנו ביחס הנוח ביותר להוכחתו. מכיוון שהסדר על הסודרים הוא טוב, לכל סודר יש עוקב מידי. נראה דרך למצוא את עוקב זה: תבנית:משפט תבנית:הוכחה תבנית:מבנה תבנית תבנית:משפט תבנית:הוכחה תבנית:משפט תבנית:הוכחה

אריתמטיקה

חיבור

תבנית:מבנה תבנית תבנית:משפט תבנית:הוכחה כדוגמה, נחשב את $1+\omega$: מכיוון ש$\omega$ גבולי, נקבל $1+\omega =\bigcup _{n<\omega }1+n=1\cup 2\cup 3\cup ...=\omega$. דוגמה זו מראה שאין קומוטטיביות, כי $1+\omega =\omega =S(\omega )=S(\omega +0)=\omega +S(0)=\omega +1$.

נשים לב שלכל סודר מתקיים $\alpha +1=\alpha +S(0)=S(\alpha +0)=S(\alpha )$. תכונה זו מאפשרת להחליף בכל מקום את $S(\alpha )$ ב$\alpha +1$, וכך להפוך את הכתיבה לנוחה יותר. למשל הגדרת החיבור מחדש תהיה $\alpha +(\beta +1)=(\alpha +\beta )+1$.

החיבור מאפשר לנו לתת שמות למספר סודרים שלא יכולנו להתייחס אליהם במפורש לפני כן, כגון $\omega +1,\omega +2,...,\omega +n,...,\omega +\omega ,...,\omega +\omega +\omega ,...$.

כפל

תבנית:מבנה תבנית שימו לב שבהגדרת הכפל החלפנו את $S(\alpha )$ ב$\alpha +1$. תבנית:משפט תבנית:הוכחה פעולת הכפל מאפשרת לנו לתת שמות נוספים (או שמות קצרים יותר) לסודרים כגון $\omega \cdot 2,\omega \cdot 3,...,\omega \cdot n,...,\omega \cdot \omega ,...,\omega \cdot \omega \cdot \omega ,...$.