תורת הקבוצות/פעולות על קבוצות

איחוד קבוצות

דיאגרמת ון של האיחוד של $A,B$

מעצם ההגדרה, ברור כי אין חשיבות לסדר הקבוצות. כלומר, $A\cup B=B\cup A$ .

איחוד מורחב

כפי שהגדרנו איחוד של שתי קבוצות, נוכל גם להגדיר איחוד של שלוש קבוצות:

$A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C=\{x:x\in A\vee x\in B\vee x\in C\}$

באופן זה ניתן להרחיב את ההגדרה גם לאיחוד של 4 קבוצות, 5 קבוצות וכן הלאה.

בהינתן אוסף של קבוצות $𝔉$ , נגדיר את האיחוד של הקבוצות כקבוצת האברים המופיעים באחת מהקבוצות. כלומר:

$\bigcup _{A\in 𝔉}A=\{x:\mathrm{\exists }A\in 𝔉:x\in A\}$

חיתוך קבוצות

דיאגרמת ון של החיתוך של $A,B$

מעצם ההגדרה, ברור כי אין חשיבות לסדר הקבוצות. כלומר, $A\cap B=B\cap A$ .

חיתוך מורחב

כפי שהגדרנו חיתוך של שתי קבוצות, נוכל גם להגדיר חיתוך של שלוש קבוצות:

$A\cap B\cap C=(A\cap B)\cap C=\left\{x\right|x\in A\wedge x\in B\wedge x\in C\}$

באופן זה ניתן להרחיב את ההגדרה גם לחיתוך של 4 קבוצות, 5 קבוצות וכן הלאה.

בהינתן אוסף של קבוצות $𝔉$ , נגדיר את החיתוך של הקבוצות כקבוצת האברים המופיעים בכל אחת מהקבוצות. כלומר:

$\bigcap _{A\in 𝔉}A=\{x|\mathrm{\forall }A\in 𝔉:x\in A\}$

הפרש בין קבוצות

דיאגרמת ון של ההפרש בין שתי קבוצות

הערה: למרות שנהוג היום יותר להשתמש ב־$\setminus$ , עדיין נהוג לעתים בספרות ובמאמרים מסוימים בויקיפדיה השימוש בסימן $-$ בשביל ההפרש בין קבוצות.

הפרש סימטרי

דיאגרמת ון של ההפרש הסימטרי של $A,B$

תכונות מעניינות שמקיים ההפרש הסימטרי:

• קומוטאטיביות $A\mathrm{\Delta }B=B\mathrm{\Delta }A$
• אסוציאטיביות $(A\mathrm{\Delta }B)\mathrm{\Delta }C=A\mathrm{\Delta }(B\mathrm{\Delta }C)$

הוכחת העובדות האלה ניתנת כתרגיל לקורא.

כללי דה־מורגן

חוקי דה־מורגן הנם חוקים אשר מטרתם ל"הפוך" חיתוך באיחוד. זה נעשה על־ידי שימוש במשלים. לכל שתי קבוצות $A,B$ מתקיים:

$$\begin{array}{cc}(A\cap B{)}^c& =A^c\cup B^c\\ (A\cup B{)}^c& =A^c\cap B^c\end{array}$$

הוכחת חוקי דה־מורגן

כעת נדגים הוכחה בתורת הקבוצות, ובד בבד, גם נוכיח את הכללים החשובים של דה־מורגן.

הוכחה

נפתח בחוק הראשון.

$$\begin{array}{cc}x\in (A\cap B{)}^c& ⟺x\notin A\cap B\\ & ⟺\mathrm{\neg }(x\in A\cap B)\\ & ⟺\mathrm{\neg }(x\in A\wedge x\in B)\\ & ⟺(x\notin A)\vee (x\notin B)\\ & ⟺(x\in A^c)\vee (x\in B^c)\\ & ⟺x\in A^c\cup B^c\end{array}$$

בצורה דומה מוכח גם המשפט השני.

כללי דה־מורגן המוכללים

בהינתן אוסף של קבוצות $𝔉$ , מתקיים:

$$\begin{array}{cc}{\left(\bigcap _{A\in 𝔉}A\right)}^c& =\bigcup _{A\in 𝔉}{A}^c\\ {\left(\bigcup _{A\in 𝔉}A\right)}^c& =\bigcap _{A\in 𝔉}\overline{A}\end{array}$$

ההוכחה כמעט זהה לחלוטין להוכחה של חוקי דה־מורגן, ועל כן, היא מושארת כתרגיל לקורא.