תורת הקבוצות/קבוצת החזקה

תבנית:תורת הקבוצות דיברנו כבר בעבר על המושג של תת-קבוצה. בפרק זה נראה מה ניתן לומר על קבוצת כל תתי־הקבוצות של קבוצה נתונה.

הגדרה ותכונות בסיסיות

קל לראות שמתקיים $A\in 𝒫(A)$ וכן $\varnothing \in 𝒫(A)$ . וכן, באופן טריוויאלי אם מתקיים $\alpha \subset A$ אזי מתקיים $\alpha \in 𝒫(A)$ .

דוגמאות

בהינתן $A=\{0,1,2\}$ אזי

$2^A=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\}$

הערה

נשים לב, שכמות האברים בקבוצת החזקה של $A$ הוא בדיוק 2 בחזקת כמות האברים ב־$A$ . טענה זו תוכלל בסעיף הבא, ותהיה לה חשיבות רבה בהמשך כשנדבר על עוצמות.

קבוצת החזקה של קבוצה סופית

כפי שראינו בדוגמאות, קבוצת החזקה של קבוצה $A$ (שאיננה ריקה) תמיד מכילה לפחות 2 אברים (אבר אחד בלבד אם היא הקבוצה הריקה), הקבוצה עצמה והקבוצה הריקה. ברצוננו לגלות כמה אברים יש בקבוצת החזקה של קבוצה סופית. לדבר יש הוכחות רבות, גם מתוך תורת הקבוצות וגם מתוך קומבינטוריקה. ההוכחות הקומבינטורית והאינדוקטיבית הן אלמנטריות, ההוכחה באמצעות עוצמות דורשת ידע מפרק מתקדם יותר בספר זה, ומומלץ לקורא המתחיל לחכות לפני שהוא קורא אותה.