הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית/השלמת קבוצה בת"ל כך שתפרוש את המרחב"

=השלמה לבסיס =
השלמת בסיס פירושו שאם קיימים לנו מספר ווקטורים הפורשים חלקית את המרחב, נרצה למצוא את יתר הווקטורים החסרים כך שיחדיו כל קבוצת הווקטורים תפרוש את כל המרחב ותהווה בסיס. לדוג' <math>e_1</math> פורש חלקית את מרחב <math>\mathbb{R}</math>. יחד עם <math>e_2</math> הם יהוו בסיס. בדוגמה הנוכחית קל היה למצוא את הווקטור החסר לפרישת כל המרחב. כיצד מוצאים את הווקטורים החסרים להשלמה לבסיס במקרים מורכבים? 
{{תרגיל
|מספר=
|שאלה=יהי <math>V=\mathbb{F}^{m}</math>, ו<math>v_{1},..,v_{n}\in\mathbb{F}^{m}</math>, כך ש-<math>\left(v_{1},..,v_{n}\right)</math> בת"ל.

למצוא <math>v_{n+1},...,v_{m}</math> כך ש <math>\left(v_{1},..,v_{m}\right)</math> יהיה בסיס של <math>\mathbb{F}^{m}</math>.
(<math>n\le m</math> - כי אחרת הוא לא היה בת"ל)
|פתרון={{טענה| 
מספר=1| 
שם=השלמה לבסיס| 
תוכן= יהי <math>V</math> מ"ו ממימד <math>m</math>, ותהיינה 
<math>\left\{v_{1},..,v_{n}\right\}\in V</math> ו-<math>\left\{u_{1},..,u_{n}\right\}\in V</math> קבוצות כך ששתיהן בת"ל ומתקיים <math>span\left(u_{1},..,u_{n}\right)=span\left(v_{1},..,v_{n}\right)</math>.

אם <math>u_{n+1},...u_{m}\in V</math> וקטורים כך ש <math>\left(u_{1},.,u_{n},u_{n+1},.,u_{m}\right)</math> בסיס של <math>V</math>, אז גם <math>B=\left(v_{1},.,v_{n},u_{n+1},.,u_{m}\right) </math> בסיס של <math>V</math>.}}
{{הוכחה|
לכל <math>1\le i\le n</math> מתקיים <math>u_{i}\in span B</math> כי <math>u_{i}\in span\left(v_{1},..,v_{n}\right)</math>.

לכל <math>n+1\le i\le m</math> מתקיים <math> u_{i}\in span B</math>. 

לכן <math>span B=V</math> כלומר <math>B</math> פורשת את <math>V</math>. 

מאחר ש-<math>\dim V=m</math> ו <math>B</math> מכילה <math>m</math> איברים ופורשת את <math>V</math>, אנו מסיקים ש<math>B</math> בת"ל ולכן בסיס.
}}
{{טענה| 
מספר=2| 
שם=תהי <math>A\in M_{ m\times n}</math> מטריצה כך שהעמודה ה<math> i</math> של <math>A</math> היא <math>v_{i}</math>. נדרג את <math>A</math> ע"י [[אלגברה לינארית/פעולות עמודה על מטריצה|פעולות''' עמודה''' אלמנטריות]] ונקבל מטריצה <math>R</math> מדורגת מצומצמת עמודות. נסמן ב<math> l</math> את מספר האיברים המובילים ב<math>R</math>, העמודה ה-<math>i</math> של <math>R</math> ב-<math>w_{i}</math>. אז:1) <math>span\left(v_{1},..,v_{n}\right)=span\left(w_{1},..,w_{n}\right)=span\left(w_{1},..,w_{l}\right)</math>. 2. <math>v_{1},..,v_{n}</math> בת"ל וגם <math>\left(w_{1},..,w_{l}\right)</math>  בת"ל, לפיכך <math>n=l</math>|
תוכן=נסמן ב-<math>j_{1},..,j_{m-n}</math> מספר השורות של <math>R</math> בהן אין איבר מוביל. אז <math>\left(w_{1},..,w_{n},e_{j_{1}},...,e_{j_{m-n}}\right)</math> בסיס של <math>\mathbb{F}^{m}</math>. 

ולפי טענה 1, גם <math>\left(v_{1},..,v_{n},e_{j_{1}},..,e_{j_{m-n}}\right)</math> מהווה בסיס של <math>\mathbb{F}^{m}</math>.

}}|יישור=ימין}}

מסקנה: כל קבוצה בת"ל של איברים מ<math>\mathbb{F}^{m}</math> ניתן להשלים לבסיס ע"י וקטורים מהקבוצה <math>\left\{ e_{1},..,e_{m}\right\}</math> .
==הוכחה דרך 2==
משפט: כל קבוצה פורשת מכילה בסיס, וכל קבוצה בת"ל מוכלת בבסיס. (בשני המקרים, הכוונה שקיים בסיס כזה)

{{מוסתר|הוכחה|2=

חלק א': יהי <math>n=\dim(V)</math> . ניקח אבר <math>u_1\in A</math> , ונמשיך עבור כל <math>1<m\le n</math> , כך:
*<math>B_{m-1}=\{u_1,\ldots,u_{m-1}\}</math> בת"ל (נבדוק זאת בסוף כל שלב).
*מכיון ש- <math>B_{m-1}</math> בת"ל, אך מספר אבריה אינו <math>n</math> , היא אינה פורשת (אחרת, היתה בסיס)
*לכן, קיים <math>v\in V</math> שאינו צ"ל של <math>B_{m-1}</math> , אבל כן צ"ל של <math>A</math> (כי <math>A</math> פורשת)
*לכן, קיים צ"ל <math>v=\sum_{i=1}^k\alpha_iz_i</math> של אברי <math>A</math> , שאינו ניתן להצגה כצ"ל של <math>B_{m-1}</math>
*אם לכל <math>w\in A</math> קיימים סקלרים כך ש- <math>\sum_{i=1}^{m-1}\beta_{i,w}u_i=w</math> , אז נקבל <math>v=\sum_{i=1}^{m-1}(\sum_{j=1}^k\alpha_j\beta_{i,z_j})u_i</math> , בסתירה.
*לכן, קיים <math>w\in A</math> שאינו צ"ל של <math>B_{m-1}</math> . נסמנו <math>u_m</math>
*מכיון שבקבוצה ת"ל, קיים אבר הניתן להצגה כצ"ל של קודמיו, <math>B_m=\{u_1,\ldots,u_m\}</math> בת"ל.

נמשיך כך עד <math>B_n</math> . <math>B_n</math> בת"ל, ו- <math>\# B_n=n</math> , ולכן, <math>B_n\subseteq A</math> בסיס.

חלק ב': 
נסמן <math>m=\# A, n=\dim(V)</math>. אם n=m, סיימנו. אחרת, <math>\ m<n</math>. נסמן <math>A=\{u_1,\dots,u_n\}</math>
עבור כל <math>m<k\le n</math> , נבצע את התהליך הבא:
*<math>B_{i-1}=\{u_1,\dots,u_{i-1}\}</math> אינה פורשת (נבדוק בסוף כל שלב), כלומר, קיים <math>u_i\in V</math> שאינו צ"ל של <math>B_{i-1}</math>
*מכיון שבקבוצה ת"ל קיים אבר שהוא צ"ל של קודמיו, <math>B_i=\{u_1,\dots,u_i\}</math> בת"ל
*אם <math>i<n</math> , נקבל <math>\# B_i=i<n</math> , ולכן <math>B_i</math> אינה פורשת.

קיבלנו בסוף, <math>B_i\supseteq A</math> בת"ל, ו- <math>\# B_i=n</math> , ולכן <math>B_i</math> בסיס.
}}

====הצגה לפי בסיס====
=====יחידות ההצגה=====
משפט: תהי <math>A\subseteq V</math>. <math>A</math> בסיס ל- <math>V</math> אמ"מ לכל <math>u\in V</math> יש הצגה יחידה כצ"ל של <math>A</math> .

{{מוסתר|הוכחה|2=
אם שמאל אז ימין: כיון שלכל <math>u\in V</math> יש הצגה כצ"ל של <math>A</math> , <math>A</math> פורשת את <math>V</math> . נוכיח שהיא בת"ל: נניח בשלילה ש- <math>A</math> ת"ל. אזי קיימים סקלרים שלפחות אחד מהם שונה מאפס, כך ש-(<math>\sum_{i=0}^m \alpha_i ai</math> (<math>a_i\in A</math> .
אבל אז, נקבל: <math>\sum_{i=1}^m 0a_i=\vec 0=\sum_{i=1}^m \alpha_i a_i</math> , בסתירה לכך שההצגה יחידה. לכן, <math>A</math> בסיס.

אם ימין אז שמאל: <math>A</math> בסיס, ולכן פורשת. לכן, לכל <math>u\in V</math> יש הצגה כצ"ל של <math>A</math> . נניח בשלילה שההצגה לא בהכרח יחידה, כלומר, קיימים סקלרים המקיימים: <math>\sum_{i=1}^m\alpha_i a_i=\sum_{i=1}^m \beta_i a_i, \exists j:\alpha_j\ne\beta_j</math>

נקבל: <math>\sum_{i=1}^m(\beta_i-\alpha_i)a_i=\vec 0, (\beta_j-\alpha_j)\ne\vec 0</math>, בסתירה לכך ש- <math>A</math> בת"ל. לכן, ההצגה יחידה.
}}

=====ההצגה=====
יהי <math>B=\{b_1,\dots,b_n\}</math> בסיס סדור ל- <math>V</math> , ויהי <math>u\in V</math> . תהי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_i b_i</math> ההצגה היחידה של <math>u</math> כצ"ל של <math>B</math> .

ההצגה של <math>u</math> לפי <math>B</math> תוגדר להיות: <math>\left[ u\right]_B=\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix}</math> (כלומר, וקטור עמודה)

=====פעולות=====
נגדיר חיבור וקטורי עמודה, וכפל בסקלר, בדרך הטריוויאלית - אבר אבר.

יהי <math>B=\{b_1,\dots,b_n\}</math> בסיס סדור ל- <math>V</math> , ויהיו <math>u,v\in V, \alpha\in\mathbb{F}</math> . אזי 
<math>[u+v]_B=[u]_B+[v]_B, [\alpha u]_B=\alpha[u]_B</math> .

הוכחה: נציג את <math>u,v</math> כצ"ל של <math>B</math> : <math>u=\sum_{i=1}^n\beta_i b_i, v=\sum_{i=1}^n \gamma_i b_i</math> , נקבל:
*<math>[u+v]_b=\left[\sum_{i=1}^n\beta_i b_i+\sum_{i=1}^n \gamma_i b_i\right]_B=\left[\sum_{i=1}^n (\beta_i+\gamma_i)b_i\right]_B=\begin{pmatrix} \beta_1+\gamma_1 \\ \vdots \\ \beta_n+\gamma_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\beta_1 \\ \vdots \\ \beta_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_n\end{pmatrix}=\left[\sum_{i=1}^n \beta_ib_i\right]_B+\left[\sum_{i=1}^n \gamma_ib_i\right]_B=[u]_B+[v]_B</math>
*<math>[\alpha u]_B=\left[\alpha\sum_{i=1}^n \beta_ib_i\right]_B=\left[\sum_{i=1}^n\alpha\beta_ib_i\right]_B=\begin{pmatrix}\alpha\beta_1 \\ \vdots \\ \alpha\beta_n\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}\beta_1 \\ \vdots \\ \beta_n\end{pmatrix}=\alpha\left[\sum_{i=1}^n\beta_ib_i\right]_B=\alpha[u]_B</math>

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]