הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית/חישוב דטרמיננטה באמצעות דירוג"

בפרק [[אלגברה לינארית/דטרמיננטה|דטרמיננטה]] הוכחנו בטענה כי ניתן למצוא דטרמיננטה על ידי דירוג מטריצה כאשר: 
*'''הכפלה בקבוע:''' אם <math>\varepsilon:C_i\Lrarr C_j</math> אזי מלינאריות ומטענה 6 נקבל: <math>D(AE)=D(\varepsilon(A))=cD(A)=D(A)\cdot D(E)</math>
*'''החלפת שורה:''' אם <math>\varepsilon:C_i\Lrarr C_j</math> אזי מטענה 2 ומטענה 6 נקבל: <math>D(AE)=D(\varepsilon(A))=D(A)=D(A)\cdot D(E)</math>
*'''הוספה של קבוע:''' אם <math>\varepsilon:C_i\Lrarr C_j+cC_i</math> אזי מטענה 5 ומטענה 6 נקבל: <math>D(AE)=D(\varepsilon(A))=D(A)=D(A)\cdot D(E)</math> כלומר אין השפעה על הדטרמיננטה (בהנחה שלא הכפלנו בקבוע ואז הוספנו את הקבוע)
*'''החלפה שורה''' – הכפלת דטרמיננטה ב־1-.
בנוסף על פי הגדרה של פונקציה לינארית מתחלפת, לכל מטריצה <math>A</math> שיש לה שתי עמודות סמוכות זהות מתקיים <math>D(A)=0</math>.

<math>
\begin{pmatrix}4&4&1&1\\0&2&1&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
\Rarr
4\begin{pmatrix}1&1&\frac14&\frac14\\0&2&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
\Rarr
4\cdot2\begin{pmatrix}1&1&\frac14&\frac14\\0&1&\frac12&\frac12\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
\Rarr
4\cdot2\begin{pmatrix}1&1&\frac14&0\\0&1&\frac12&\frac12\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
\Rarr
4\cdot2\begin{pmatrix}1&1&\frac14&0\\0&1&\frac12&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
\Rarr
4\cdot2\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&\frac12&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
\Rarr
4\cdot2\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
\Rarr
\det=8
</math>

'''לא להתבלבל עם דירוג:'''

<math>\begin{align}\begin{pmatrix}4&4&1&1\\0&2&1&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}&
\ \xrightarrow[]{R_1:\frac14R_1}\ \begin{pmatrix}1&1&\frac14&\frac14\\0&2&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
\ \xrightarrow[]{R_2:-\frac12R_2}\ \begin{pmatrix}1&1&\frac14&\frac14\\0&1&\frac12&\frac12\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
\ \xrightarrow[]{R_1:R_1-\frac14R_4}\ \begin{pmatrix}1&1&\frac14&0\\0&1&\frac12&\frac12\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
\\&
\xrightarrow[]{R_2:R_2-\frac12R_4}\ \begin{pmatrix}1&1&\frac14&0\\0&1&\frac12&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
\ \xrightarrow[]{R_1:R_1-\frac14R_3}\ \begin{pmatrix}1&1 &0 &0\\0&1&\frac12&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
\ \xrightarrow[]{R_2:R_2-\frac12R_3}\ \begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
\end{align}</math>

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]