אלגברה לינארית/חישוב דטרמיננטה באמצעות דירוג

בפרק דטרמיננטה הוכחנו בטענה כי ניתן למצוא דטרמיננטה על ידי דירוג מטריצה כאשר:

הכפלה בקבוע: אם $ε : C_{i} \Leftrightarrow C_{j}$ אזי מלינאריות ומטענה 6 נקבל: $D (A E) = D (ε (A)) = c D (A) = D (A) \cdot D (E)$
החלפת שורה: אם $ε : C_{i} \Leftrightarrow C_{j}$ אזי מטענה 2 ומטענה 6 נקבל: $D (A E) = D (ε (A)) = D (A) = D (A) \cdot D (E)$
הוספה של קבוע: אם $ε : C_{i} \Leftrightarrow C_{j} + c C_{i}$ אזי מטענה 5 ומטענה 6 נקבל: $D (A E) = D (ε (A)) = D (A) = D (A) \cdot D (E)$ כלומר אין השפעה על הדטרמיננטה (בהנחה שלא הכפלנו בקבוע ואז הוספנו את הקבוע)
החלפה שורה – הכפלת דטרמיננטה ב־1-.

בנוסף על פי הגדרה של פונקציה לינארית מתחלפת, לכל מטריצה $A$ שיש לה שתי עמודות סמוכות זהות מתקיים $D (A) = 0$ .

$(\begin{matrix} 4 & 4 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow 4 (\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow 4 \cdot 2 (\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow 4 \cdot 2 (\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow 4 \cdot 2 (\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow 4 \cdot 2 (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow 4 \cdot 2 (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow \det = 8$

לא להתבלבל עם דירוג:

$\begin{matrix} (\begin{matrix} 4 & 4 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) & \to_{}^{R_{1} : \frac{1}{4} R_{1}} (\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \to_{}^{R_{2} : - \frac{1}{2} R_{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \to_{}^{R_{1} : R_{1} - \frac{1}{4} R_{4}} (\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \\ \to_{}^{R_{2} : R_{2} - \frac{1}{2} R_{4}} (\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \to_{}^{R_{1} : R_{1} - \frac{1}{4} R_{3}} (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \to_{}^{R_{2} : R_{2} - \frac{1}{2} R_{3}} (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}$

אלגברה לינארית/חישוב דטרמיננטה באמצעות דירוג

תפריט ניווט

חיפוש