הצגת המקור של הדף "הוכחות מתמטיות/אלגברה לינארית/מרחבים וקטוריים, בסיס וממד"

===משפט הממדים לתתי-מרחבים===
אם <math>U,W</math> הנם תתי-מרחבים של מרחב וקטורי <math>V</math> , אזי מתקיים

:<font size=4><math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math></font size=4>


;הוכחה
נסמן
:<font size=4><math>m=\dim(U),n=\dim(W),k=\dim(U\cap W)</math></font size=4>
ונוכיח כי <math>\dim(U+W)=m+n-k</math> .


יהי <math>\{v_1,\ldots,v_k\}</math> בסיס לחיתוך. מעצם הגדרת החיתוך, אברי הבסיס הם בלתי-תלויים לינארית הן ב-<math>U</math> והן ב-<math>W</math> .

[[כל קבוצה בלתי תלויה לינארית ניתנת להשלמה לבסיס|נשלים קבוצה זו לבסיסים]] של <math>U</math> ושל <math>W</math> בהתאמה:
<center>
<font size=4>
<math>\begin{align}\Big\{v_1,\ldots,v_k,u_{k+1},\ldots,u_m\Big\}\\\Big\{v_1,\ldots,v_k,w_{k+1},\ldots,w_n\Big\}\end{align}</math>
</font size=4>
</center>

נסמן ב-<math>B</math> את האיחוד של שתי הקבוצות הנ"ל. מספר האברים ב-<math>B</math> הוא <math>k+(m-k)+(n-k)=m+n-k</math> . לכן נותר רק להוכיח כי <math>B</math> היא בסיס למרחב הסכום.

מהגדרת בסיס, יש להוכיח כי <math>B</math> קבוצה פורשת ובלתי-תלויה לינארית. תחילה נראה כי היא פורשת.

אברים בתת-המרחב <math>U+W</math> הם כולם מהצורה <math>u+w</math> , כאשר <math>u\in U,w\in W</math> , מעצם הגדרת מרחב הסכום.

<math>u</math> הוא צירוף לינארי של <font size=4><math>v_1,\ldots,v_k,u_{k+1},\ldots,u_m</math></font size=4> שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור <math>U</math> .

<math>w</math> הוא צירוף לינארי של <font size=4><math>v_1,\ldots,v_k,w_{k+1},\ldots,w_n</math></font size=4> שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור <math>W</math> .

לפיכך, <math>u+w</math> הוא צירוף לינארי של אברי <math>B</math> . לכן <math>B</math> קבוצה פורשת.

כעת נוכיח כי <math>B</math> בלתי-תלויה לינארית. מעצם הגדרת אי-תלות לינארית, עלינו להוכיח כי הפתרון היחיד למשוואה
<center>
<font size=4>
<math>\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k+\beta_{k+1}u_{k+1}+\cdots+\beta_mu_m+\gamma_{k+1}w_{k+1}+\cdots+\gamma_nw_n=0</math>
</font size=4>
</center>
הוא <font size=4><math>\forall i:\alpha_i=\beta_i=\gamma_i=0</math></font size=4> .


לאחר העברת אגפים נקבל כי:
<center>
<font size=4>
<math>\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k+\beta_{k+1}u_{k+1}+\cdots+\beta_mu_m=-\gamma_{k+1}w_{k+1}-\cdots-\gamma_nw_n</math>
</font size=4>
</center> 
האגף השמאלי הוא צירוף לינארי של אברי בסיס של <math>U</math> , לכן הוא שייך ל-<math>U</math> .

האגף הימני הוא צירוף לינארי של אברי בסיס של <math>W</math> ולכן הוא שייך ל-<math>W</math> .

לכן כל אחד מהאגפים שייך לחיתוך <math>U\cap W</math> . לכן ניתן לכתוב את האגף השמאלי כצירוף לינארי של אברי הבסיס של החיתוך.
<center><font size=4><math>-\gamma_{k+1}w_{k+1}-\cdots-\gamma_nw_n=\delta_1v_1+\cdots+\delta_kv_k</math></font size=4></center> 
נעביר אגפים ונקבל:
<center><font size=4><math>\delta_1v_1+\cdots+\delta_kv_k+\gamma_{k+1}w_{k+1}+\cdots+\gamma_nw_n=0</math></font size=4></center>
קיבלנו צירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>W</math> ומכיון שאברי בסיס הם בלתי-תלויים לינארית מעצם הגדרתו, נובע מכך כי <font size=4><math>\forall i:\delta_i=\gamma_i=0</math></font size=4> .

נציב זאת לצירוף הלינארי של אברי <math>B</math> אשר התחלנו ממנו ונקבל:
<center><font size=4><math>\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k+\beta_{k+1}u_{k+1}+\cdots+\beta_nu_n=0</math></font size=4></center>
זהו צירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>U</math> , לכן <font size=4><math>\forall i:\alpha_i=\beta_i=\gamma_i=0</math></font size=4> .

<math>\blacksquare</math>

[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]