הצגת המקור של הדף "הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/מונוטוניות האינטגרל המסוים"

;משפט
אם <math>f,g</math> אינטגרביליות בקטע <math>[a,b]</math> ואם <math>f(x)\le g(x)</math> לכל <math>x</math> בקטע, אזי <math>\int\limits_a^bf(x)dx\le\int\limits_a^bg(x)dx</math> .

;הוכחה
תהי <math>P={x_0,\ldots,x_n}</math> חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> .

לכל <math>x\in\Delta x_k=[x_{k-1},x_k]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> , ולכן גם <math>\sup f(\Delta x_k)\le\sup g(\Delta x_k)</math> .

או בסימון אחר:
:<math>M_k(f)\le M_k(g)</math>
כאשר <math>M_k(f)</math> הוא החסם העליון של <math>f</math> בקטע <math>\Delta x_k</math> , ובהתאם מוגדר <math>M_k g(x)</math> .

לפיכך גם <math>S_f(P)\le S_g(P)</math> כאשר <math>S_f(P)</math> הוא הסכום העליון של <math>f</math> לגבי החלוקה הנתונה ובהתאמה גם ל־<math>g</math> .

אי־השוויון האחרון נכון לכל חלוקה <math>P</math> של הקטע <math>[a,b]</math> , ולכן מתקיים גם <math>\inf\bigl\{S_f(P):P\in\wp\bigr\}\le\inf\bigl\{S_g(P):P\in\wp\bigr\}</math> .

כלומר <math>\int\limits_a^bf(x)dx\le\int\limits_a^bg(x)</math> .

<math>\blacksquare</math>

[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]